Какая окружность называется вписанной в многоугольник: определение, условия

Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Этот вопрос интересует многих, кто изучает геометрию. Давайте разберемся вместе, опираясь на теоретические основы и решение практических задач.

Определение вписанной окружности

Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Например, на рисунке изучаемая окружность касается каждой стороны правильного шестиугольника.

В отличие от нее, описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. Условия существования вписанной окружности различаются для треугольников, четырехугольников и многоугольников.

Формулы радиуса вписанной окружности:

• Для треугольника с полупериметром p и площадью S : r = S/p
• Для правильного n -угольника со стороной a : r = a/(2tan(π/n))

Вписанная окружность в треугольнике

Любой треугольник обладает важным свойством:

Во всякий треугольник можно вписать окружность, притом единственным образом.

Центр этой окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Для вычисления радиуса r вписанной окружности используется формула через площадь S и полупериметр p треугольника:

Вписанная окружность в четырехугольнике

В отличие от треугольника, не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Однако существует критерий:

Выпуклый четырехугольник обладает вписанной окружностью тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Частные случаи четырехугольников — ромб, прямоугольник и квадрат — также обладают этим свойством.

Особенности вписанной окружности в трапеции

Трапеция также может обладать вписанной окружностью. Для этого должно выполняться условие: сумма длин одной пары противоположных сторон равна сумме длин другой пары противоположных сторон.

В частности, в равнобедренную трапецию всегда можно вписать окружность. При этом боковые стороны трапеции равны ее средней линии.

Пример задачи

Дана трапеция с основаниями 12 см и 5 см, одна из боковых сторон равна 7 см. Найти вторую боковую сторону и радиус вписанной окружности.

Решение:

1. По условию существования вписанной окружности: 12 + x = 5 + 7
2. x = 10 см - вторая боковая сторона
3. Средняя линия = (12 + 5)/2 = 8,5 см
4. Радиус r = 8,5 см

Вычисление параметров вписанной окружности

При решении задач важно уметь находить радиус и координаты центра окружности, зная стороны многоугольника.

• Центр окружности. Центр окружности, вписанной в правильный многоугольник лежит в точке пересечения его биссектрис.
• Радиус окружности. Для вычисления радиуса вписанной окружности используются разные формулы в зависимости от вида многоугольника - треугольника, четырехугольника, правильного многоугольника.

Применение вписанной окружности на практике

Знание свойств окружности, которая называется вписанной в многоугольник, важно не только для решения школьных задач, но и в реальных ситуациях:

• Применение в строительстве. Вписанная окружность широко используется в архитектуре и строительстве. Например, при возведении куполов и арок вписанная окружность позволяет равномерно распределить нагрузку по всей конструкции.
• Расчет прочности. Знание радиуса и координат центра вписанной окружности необходимо инженерам для точных расчетов прочности сооружения.
• Применение в технике. Свойства вписанной окружности используются при проектировании и производстве различных технических устройств - от микросхем до автомобильных деталей.
• Создание прототипов. Например, при помощи 3D-принтеров создаются прототипы деталей со сложными вырезами и впадинами, для моделирования которых требуются навыки построения вписанной окружности.
• Развитие пространственного мышления. Изучение вписанной окружности способствует развитию геометрической интуиции и пространственного воображения как у школьников, так и у взрослых.
• Рекомендации по обучению. Для лучшего усвоения темы рекомендуется решать задачи с графическим изображением окружности и многоугольника, а не только с числовыми данными.
• Подготовка к экзаменам. При подготовке к ЕГЭ и олимпиадам важно повторить основные формулы по теме и потренироваться в решении разнообразных задач на вычисление параметров вписанной окружности.