Степень с целым показателем: свойства и основные формулы

Степень с целым показателем - это важное математическое понятие, которое пригодится для решения многих практических задач. Например, при вычислении объемов, площадей, производительности и других физических величин.

Определение степени с целым показателем

Степень с целым показателем - это выражение вида aⁿ, где a - основание степени, n - целое число, показатель степени.

Примеры степеней с положительным целым показателем: 2³ = 8, 5² = 25.

Если показатель степени отрицательное целое число, например -3, то степень записывается как дробь:

a^-n = 1 / aⁿ

Например: 3^-2 = 1 / 3² = 1 / 9

Степень с нулевым показателем для любого ненулевого основания равна 1: a⁰ = 1

Основные свойства степени с целым показателем

Рассмотрим 3 основных свойства степени, которые используются при вычислениях и преобразованиях:

Возведение степени в степень:

(a^m)ⁿ = a^m∙n
Умножение степеней с одинаковым основанием:

a^m ∙ aⁿ = a^m+n
Деление степеней с одинаковым основанием:

a^m / aⁿ = a^m-n

Эти свойства позволяют быстро выполнять сложные преобразования со степенями, например:

(2³)⁴ = 2^3·4 = 2¹²

x⁵ · x^-2 = x^{5 + (-2)} = x³

Правила действий со степенями с целыми показателями

При сложении, вычитании, умножении и делении чисел, записанных в виде степени, действия производятся по обычным правилам, с учетом свойств степени.

Например:

Сложение: 2³ + 3³ = 8 + 27 = 35
Вычитание: 5² - 2² = 25 - 4 = 21
Умножение: (3²)·(3⁵) = 9·243 = 2187
Деление: 64³ / 64² = 64

Основные ошибки при вычислениях:

Неверное применение свойств степени
Неправильное определение знака степени отрицательного числа
Деление на ноль

Чтобы избежать ошибок, нужно хорошо знать определения и свойства степени.

Возведение отрицательных чисел в степень

При возведении отрицательных чисел в степень важно определить знак результата.

Если отрицательное число возводится в четную степень, результат положительный.

Например: (-2)⁴ = 16

Если отрицательное число возводится в нечетную степень, результат отрицательный.

Например: (-5)³ = -125

Преобразование выражений со степенями

Часто при решении задач требуется преобразовать выражения, содержащие степени, к более простому виду.

Если в выражении присутствуют одинаковые основания степени, можно воспользоваться свойствами умножения и деления степеней для упрощения.

Например:

3² ∙ 3⁴ ∙ 3^-3 = 3^2+4-3 = 3³ = 27

Также можно раскрывать скобки по правилам:

(x² ∙ x)³ = x^2∙3 ∙ x³ = x⁶ ∙ x³ = x⁹

Упрощение дробно-рациональных выражений

Если в числителе и знаменателе дроби содержатся одинаковые основания степени, их можно сократить:

((x²)³) / (x⁴)² = (x⁶) / (x⁸) = x^6-8 = x^-2

Решение уравнений со степенями

Для решения простейших уравнений вида xⁿ = a используют следующие приемы:

Возводят обе части уравнения в степень 1/n
Применяют логарифмирование

Например, решим уравнение x⁴ = 16:

x⁴ = 16
x = 16^1/4 = 2

Решение неравенств со степенями

При решении неравенств типа (x - 3)² > 9 используют:

Раскрытие скобок
Изоляция степени
Решение полученного неравенства

Применение свойств степени при решении уравнений

Рассмотрим несколько примеров решения уравнений с применением свойств степени:

Решим уравнение: x³ - 8x = 0

Группируем слагаемые: x³ - 8·x = 0
Применяем свойство деления степеней: x³ - 8·x¹ = 0
Получаем: x^3-1 = 0
Тогда x = 0

Еще один пример:

Решим уравнение: (2x - 3)² = 25

Раскрываем скобки: 4x² - 12x + 9 = 25
Группируем слагаемые: 4x² - 12x - 16 = 0
Решаем полученное квадратное уравнение

Задачи с показательным ростом

Степень часто используется в задачах на сложные проценты и экспоненциальный рост.

Например, численность бактерий удваивается каждый час. Если начальное количество было 5 бактерий, то через 4 часа получится:

Через 1 час будет 5·2 = 10 бактерий
Через 2 часа — 10·2 = 20 бактерий
Через 3 часа — 20·2 = 40 бактерий
Через 4 часа — 40·2 = 80 бактерий

Если записать в виде степени 2, получаем формулу численности:

5·2^t, где t - количество часов.

Подставляя t = 4, получаем ответ 80 бактерий.

Нахождение корня n-й степени

Свойства степени используются также при вычислении корней:

Например, найдем корень пятой степени из 32:

32^1/5 = 2

Применение степени в геометрических задачах

Понятие степени широко используется при решении геометрических задач, связанных с вычислением площадей и объемов.

Например, площадь квадрата со стороной a вычисляется по формуле:

S = a²

А объем куба с ребром a:

V = a³

Покажем применение степени для вычисления площади круга. Известно, что

S = π·R²

где R - радиус круга. Например, радиус круга равен 5 см. Тогда его площадь равна:

S = 3,14·5² = 3,14·25 = 78,5 см²

Вычисление физических величин

В физике и технике часто используется запись величин в степени:

Мегаватт-часы (МВт·ч) — энергия в миллионах ватт, умноженная на часы
Километры в час (км/ч) — скорость в километрах, деленная на часы
Мегапаскаль (МПа) - давление в миллионах паскалей

Степени также используются в законах:

Закон Кулона с электрическими зарядами q₁ и q₂ содержит квадрат расстояния между ними: F ~ (q₁·q₂) / r²
В третьем законе Кеплера фигурирует куб расстояния планеты от Солнца: T² ~ R³, где T - период обращения, R - радиус орбиты.

Использование степени в экономических расчетах

Степень широко используется в экономике и финансовых расчетах.

Например, при подсчете сложных процентов по вкладам, кредитам, ипотеке.

Пусть по вкладу начисляется 10% годовых с ежемесячной капитализацией. Тогда формула расчета накопленной суммы имеет вид:

S = S₀·(1 + i/12)^t·12

где S₀ - начальная сумма вклада, i - процентная ставка в долях (0,1), t - количество лет, 12 - количество месяцев.

Другой пример - оценка стоимости бизнеса методом дисконтированных денежных потоков. При этом будущие денежные потоки приводятся к текущей стоимости при помощи степени:

PV = ∑ CF_t / (1 + r)^t

где PV - текущая стоимость, CF_t - денежный поток в периоде t, r - ставка дисконтирования, t - номер периода.

Анализ рисков финансовых операций

С помощью степени можно количественно оценить риски инвестиций.

Рассмотрим пример. Пусть прибыль по сделке распределена нормально, математическое ожидание прибыли составляет $1000, среднеквадратическое отклонение (риск) равно $100. Тогда вероятность получения убытка составляет:

P(убыток) = P(прибыль ≤ 0) = Φ(-1000/100) ≈ 3,7%

Где Φ(x) - функция Лапласа. Это означает, что вероятность получить убыток составляет около 3,7%. Чем выше риск (стандартное отклонение), тем выше вероятность убытка.

Сидор Черненко 22 декабря, 2023