Что первое: умножение или деление? Порядок действий в математике

Математика кажется сложной наукой, но на самом деле она подчиняется простым и логичным правилам. Одно из таких важных правил – порядок выполнения действий в математических выражениях. Зная его, можно безошибочно решать даже сложные примеры. Давайте разберемся, что выполняется первым – умножение или деление.

История вопроса: кто придумал правила выполнения действий

Порядок действий в математических выражениях впервые сформулировал в 16-м веке французский математик Пьер де Ферма. В своей книге «Введение в алгебру» он установил, что первыми выполняются умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

«В выражениях, где есть и умножение, и сложение, сначала нужно выполнить умножение и деление, а затем прибавление и вычитание». Пьер де Ферма, «Введение в алгебру», 1637 год.

Это правило действует и по сей день. Оно позволяет избежать ошибок при вычислениях и получить верный результат.

Базовые понятия

Прежде чем переходить непосредственно к порядку действий, давайте определим ключевые понятия:

• Математическое выражение – запись, содержащая числа, переменные, знаки операций.
• Арифметические действия – сложение, вычитание, умножение, деление.
• Числовое выражение – выражение, состоящее только из чисел и знаков арифметических действий.

Рассмотрим числовые выражения подробнее и разберемся, в каком порядке нужно выполнять действия в них.

Порядок действий в простых выражениях

Начнем с простого случая – когда в выражении присутствует только один вид действий. Например, сложение и вычитание:

• 2 + 3 + 5 - 1

Что делается первым: умножение или деление? Здесь все действия одинаковые по «силе», поэтому выполняются слева направо:

1. 2 + 3 = 5
2. 5 + 5 = 10
3. 10 - 1 = 9

Аналогично, если есть только знаки умножения/деления:

• 2 * 3 / 6

Выполняем:

1. 2 * 3 = 6
2. 6 / 6 = 1

То есть при наличии действий одного уровня приоритетности они выполняются слева направо без изменения порядка.

А вот если в выражении есть и сложение/вычитание, и умножение/деление? Какое первое действие: умножение или деление?

Согласно правилу, сформулированному еще Пьером де Ферма:

Сначала выполняются умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание также слева направо.

Пример:

• 2 + 3 * 4 / 2 - 1

Решение:

1. 3 * 4 = 12
2. 12 / 2 = 6
3. 2 + 6 = 8
4. 8 - 1 = 7

Как видите, несмотря на то, что в исходном выражении сложение стояло левее умножения, оно было выполнено после – в соответствии с приоритетом действий.

Выражения со скобками и другими операциями

Еще один распространенный случай, когда в выражении присутствуют скобки. Они используются, чтобы изменить порядок действий. Как правило, в скобках записывают то, что должно выполняться в первую очередь.

Например:

(2 + 3) * 4 - 5

Сначала вычисляем то, что в скобках:

1. (2 + 3) = 5
2. 5 * 4 = 20
3. 20 - 5 = 15

Заметьте, как скобки повлияли на приоритет действий – сложение оказалось «сильнее» последующего умножения.

Помимо скобок, есть и другие операции, которые также влияют на очередность вычислений – например, возведение в степень, извлечение корня, вычисление тригонометрических и логарифмических функций и т.д. Они выполняются до остальных действий в выражении.

Пример со степенью:

2 + 3² * 4 / 2

1. 3² = 9
2. 9 * 4 = 36
3. 36 / 2 = 18
4. 2 + 18 = 20

Как видно из решения, возведение в квадрат было выполнено первым, до умножения и деления.

Алгоритм выполнения действий

Чтобы безошибочно определять, что делается первым — умножение или деление, можно использовать следующий алгоритм:

1. Найти в выражении скобки и вычислить выражения в них
2. Выполнить возведение в степень, извлечение корня и другие функции
3. Выполнить умножение и деление слева направо
4. Выполнить сложение и вычитание слева направо

Следуя этим шагам, можно правильно определить приоритет действий и найти верное значение любого выражения.

Распространенные ошибки

Несмотря на простоту основного правила, многие допускают типичные ошибки. Рассмотрим наиболее частые из них.

• Неверный порядок умножения/деления и сложения/вычитания
• Неправильный приоритет скобок
• Пропуск степеней и функций

Чтобы этого избежать, нужно четко представлять иерархию действий и пошагово следовать правилам.

Полезные упражнения

Для закрепления навыка можно использовать специальные упражнения, где нужно:

• определить порядок действий в выражении
• вставить пропущенные скобки
• исправить ошибки в решении

Выполняя такие задания, можно отточить умение правильно применять правила.

Где это пригодится

Навык определения приоритета действий необходим не только для решения учебных примеров по математике. Он применим для:

• Расчетов в физике и химии
• Анализа данных и статистики
• Программирования
• Финансовых расчетов

Поэтому очень важно хорошо понимать и соблюдать это правило на практике.

Подбор сложности упражнений

Чтобы эффективно тренировать навык, важно правильно подобрать сложность упражнений. Начинать лучше с простых примеров, постепенно увеличивая количество действий и использование скобок.

Простой уровень:

• 2-3 действия без скобок
• Только один вид действий в начале

Средний уровень:

• 3-4 действия со скобками
• Разные виды действий

Сложный уровень:

• Много вложенных скобок
• Степени, корни, функции
• Необходим подсчет в уме

Постепенное усложнение помогает закрепить навык и подойти к решению задач любого уровня.

Роль скорости счета

Помимо правильного порядка действий, для успешного решения примеров важна и скорость вычислений. Чем быстрее человек умеет складывать, вычитать, умножать и делить числа в уме, тем легче ему определять приоритет операций.

Для тренировки скорости полезны задачи типа:

• Посчитать от 1 до 100 за минуту
• Быстро перемножить числа от 1 до 10
• На скорость сложить или вычесть двузначные числа

Такая тренировка развивает гибкость ума и помогает быстрее ориентироваться в последовательности шагов.