Формула для нахождения х1 и х2 при решении квадратного уравнения с помощью дискриминанта

Решение квадратных уравнений - одна из важнейших тем школьного курса алгебры. От того, насколько хорошо усвоены соответствующие формулы и методы, часто зависит успех в изучении более сложных разделов математики. Давайте разберемся, как с помощью дискриминанта находить корни квадратного уравнения, то есть значения переменных х1 и х2.

Основные понятия

Напомним определения ключевых терминов:

• Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0, где a, b и c - заданные числа, а x - неизвестная переменная.
• Дискриминант (D) вычисляется по формуле D = b2 - 4ac.
• Корни уравнения обозначаются как x1 и x2.

То есть для нахождения ответа нам потребуются коэффициенты a, b и c из уравнения. Давайте теперь перейдем к основным формулам.

Формулы для вычисления х1 и х2 через дискриминант

Существует два варианта формул для нахождения корней квадратного уравнения. Какую из них применить - зависит от знака дискриминанта D:

1. Если D > 0, то формулы для корней:
   x1 = (-b + √D) / 2a x2 = (-b - √D) / 2a
2. Если D = 0, то формула для корня: x = -b / 2a

Эти две формулы и есть основа для нахождения х1 и х2 в квадратном уравнении при помощи дискриминанта. Давайте разберем конкретные численные примеры.

Примеры решения уравнений

Рассмотрим задачу:

Решить уравнение 2x2 - 5x - 3 = 0, то есть найти х1 и х2.

По условию:

• a = 2
• b = -5
• c = -3

Вычисляем дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-5)2 - 4·2·(-3) = 25 + 24 = 49

Получено, что D > 0. Значит, применяем первый вариант формул:

х1 = (-b + √D) / 2a = (-(-5) + 7) / 2·2 = 3

х2 = (-b - √D) / 2a = (-(-5) - 7) / 2·2 = -1

Ответ: x1 = 3; x2 = -1.

Как видно на этом численном примере, с помощью дискриминанта и соответствующих формул можно довольно просто найти корни квадратного уравнения, то есть значения переменных х1 и х2.

Как применить на практике

Умение решать квадратные уравнения через дискриминант пригодится не только для сдачи экзаменов по алгебре. Этот навык применим во многих реальных ситуациях.

Например, при расчетах:

• объемов геометрических фигур;
• движения и скорости объектов;
• прибыли и убытков;
• процентных ставок банковских вкладов.

То есть эта тема имеет большое практическое значение. Надеюсь, моя статья помогла вам лучше разобраться в формулах дискриминанта и алгоритме нахождения переменных х1 и х2 при решении квадратных уравнений.

Помимо метода с использованием дискриминанта, существуют и другие способы нахождения корней квадратного уравнения.

Формула Виета

Один из распространенных подходов - это применение формул Виета. Суть метода заключается в следующих соотношениях между корнями и коэффициентами уравнения:

• x1 + x2 = -b/a
• x1·x2 = c/a

Где x1 и x2 - корни; a, b и c - коэффициенты уравнения. Подставляя числовые значения, можно найти сами корни.

Разложение на множители

Еще один метод заключается в представлении левой части уравнения в виде произведения двух множителей:

ax2 + bx + c = (x - x1)(x - x2)

Где x1 и x2 - искомые корни. Далее производятся соответствующие преобразования и находятся значения корней.

Интересный вопрос - как именно корни квадратного уравнения зависят от значений коэффициентов a, b и c? Рассмотрим это на примерах.

Влияние коэффициента a

Пусть исходное уравнение имеет вид: x2 - 6x + 8 = 0. Его корни равны 2 и 4.

Если увеличить a в 3 раза, получим: 3x2 - 6x + 8 = 0. Новые корни: x1 = 1; x2 = 2. То есть значения корней уменьшились.

Вывод: чем больше коэффициент a, тем меньше по модулю корни уравнения.

Влияние коэффициента b

Возьмем уравнение x2 - 4x + 4 = 0 с корнями 2 и 2. При увеличении коэффициента b до 6 получим уравнение x2 - 6x + 4 = 0 с корнями 3 и 1.

Вывод: при увеличении b один корень становится больше, а другой - меньше.

Применение при решении задач

Рассмотрим такую задачу:

Требуется определить, при каком значении параметра а уравнение ax2 + 6x + 8 = 0 будет иметь равные корни.

Из условия:

• b = 6
• c = 8

При равных корнях x1 = x2 дискриминант равен нулю. Тогда получаем уравнение:

D = b2 - 4ac = 0

36 - 4·a·8 = 0

a = 1

Ответ: a = 1

Рассмотрим типичные ошибки, которые допускают при нахождении дискриминанта и вычислении корней квадратного уравнения.

Неверный расчет дискриминанта

Одна из распространенных ошибок - неправильно определить значение дискриминанта D. Это может произойти в случае:

• опечатки при подстановке коэффициентов a, b и c в формулу;
• неверного возведения в квадрат числа b;
• неправильного порядка действий в формуле (например, сначала умножение/деление, потом сложение/вычитание).

Поэтому при вычислении D нужно быть особенно внимательным и все делать по порядку.

Неправильный выбор формулы для корней

Другая распространенная ошибка - подстановка корней в неподходящую формулу. Например, применена формула для случая D > 0, а на самом деле D = 0.

Чтобы этого избежать, обязательно сначала найти D и только потом определить, какая формула подходит.

Неверный порядок действий при подстановке

Помимо неправильного выбора формулы, еще одна распространенная ошибка - неаккуратность при вычислении по конкретной формуле. Это может выражаться в:

• неверном порядке действий при подстановке значений (сначала корень, потом скобки);
• пропуске нужных действий (например, забыли разделить на 2a);
• арифметических ошибках в вычислениях.

Поэтому после подстановки нужно еще раз внимательно проверить ход решения.

Проверка найденных корней

Чтобы удостовериться в правильности полученных при решении значений х1 и х2, можно подставить их обратно в исходное уравнение. Если при подстановке левая и правая части уравнения равны, то корни найдены верно.

Рассмотрим на конкретном численном примере. Пусть задано уравнение: 2x2 - 5x - 3 = 0. Решили его и получили х1 = 3, х2 = -1. Подставляем эти значения:

При x = 3: 2·32 - 5·3 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0

При x = -1: 2·(-1)2 - 5·(-1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 0

Левая и правая части уравнений равны, следовательно корни найдены верно.