Формулы синусов и косинусов: изучаем тригонометрические тождества
Тригонометрия - удивительная наука, позволяющая решать множество практических задач. Давайте разберемся в основных тригонометрических тождествах и формулах синусов и косинусов, чтобы свободно ориентироваться в этой области. Окунемся в мир загадочных соотношений между сторонами и углами треугольников!
История тригонометрии и ее применение
Возникновение тригонометрии как науки относится к глубокой древности. Еще в Древнем Египте и Вавилоне появились зачатки этой дисциплины в виде различных методов вычисления длин сторон и величин углов в треугольниках. Однако подлинное развитие тригонометрия получила в Древней Греции в связи с задачами астрономии и геодезии.
Впервые термин "тригонометрия" употребил древнегреческий астроном и математик Гиппарх Никейский во II веке до н.э. Он же ввел в обращение тригонометрические функции и компилировал первые тригонометрические таблицы.
В Средние века важнейшие открытия в области тригонометрии были сделаны учеными Индии и арабского Востока. Знаменитый персидский математик Абу Райхан аль-Бируни разработал оригинальные методы решения плоских и сферических треугольников.
К XVI веку тригонометрия окончательно сформировалась как самостоятельная дисциплина, имеющая важнейшее прикладное значение в астрономии, геодезии, архитектуре и строительстве. В дальнейшем тригонометрические формулы и тождества нашли применение практически во всех областях естествознания и техники.
Базовые тригонометрические понятия и определения
Основу тригонометрии составляют тригонометрические функции - синус, косинус, тангенс и котангенс. Рассмотрим их определения.
- Синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике
- Косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе
- Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилежащему
- Котангенс угла - отношение прилежащего катета к противолежащему
Данные определения справедливы для острых углов в промежутке от 0 до 90 градусов. Синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Областью определения тангенса и котангенса является вся числовая прямая.
| sin α | = | BC / AB |
| cos α | = | AC / AB |
| tg α | = | BC / AC |
| ctg α | = | AC / BC |
Существует и аналитический подход к определению тригонометрических функций - через координаты точки на единичной окружности. Этот метод эквивалентен геометрическим определениям.
Формулы синусов и косинусов
Две важнейшие теоремы планиметрии, связывающие между собой элементы произвольного треугольника, - это теорема синусов и теорема косинусов. Рассмотрим их более подробно.
Теорема синусов
Теорема синусов гласит: в любом треугольнике отношение синуса угла к длине противолежащей стороны постоянно:
Это важное соотношение позволяет находить элементы треугольника, если известны две стороны и угол между ними или два угла и сторона между ними. Кроме того, теорему синусов можно использовать для вычисления площади треугольника.
Применение теоремы синусов
Рассмотрим несколько примеров использования теоремы синусов для решения различных задач.
-
Даны две стороны AC = 5 см и AB = 7 см и угол между ними γ = 40°. Требуется найти третью сторону BC.
По теореме синусов:
Отсюда BC = 8 см.
-
Известны сторона b = 10 м и противолежащие ей углы α = 30° и β = 45°. Найдем сторону с.
Используем теорему синусов:
Получаем: c = 12 м.
Теорема косинусов
Согласно теореме косинусов, для любого треугольника справедливо соотношение:
Где с - длина любой стороны, а - длина одной из прилежащих к ней сторон, b - длина другой прилежащей стороны, γ - угол между сторонами a и b.
Вывод формулы теоремы косинусов
Выведем формулу теоремы косинусов из теоремы синусов. Рассмотрим произвольный треугольник ABC.
Применим теорему синусов и для сторон a и b:
Разделив левые и правые части двух полученных равенств, приходим к формуле теоремы косинусов:
Применение теоремы косинусов
Теорема косинусов позволяет находить любой элемент треугольника, если известны две стороны и угол между ними. Рассмотрим пример.
Даны стороны AB = 5 см, AC = 7 см и угол BAC = 60°. Требуется найти сторону BC.
Подставляя значения в формулу теоремы косинусов, получаем:
Отсюда BC = 6 см.