Когда можно в четырехугольнике вписать окружность: геометрические свойства

Знание особенностей вписанных в четырехугольники окружностей пригодится не только профессиональным математикам, но и архитекторам, дизайнерам, строителям при проектировании зданий и интерьеров. Давайте разберемся, как определить, можно ли в конкретный четырехугольник вписать окружность.

Определения и свойства

Вписанной в четырехугольник называется окружность, которая касается всех его сторон. Центр такой окружности лежит внутри четырехугольника.

Существует необходимое и достаточное условие вписания окружности в четырехугольник:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Это свойство справедливо для любых четырехугольников, как выпуклых, так и невыпуклых. Рассмотрим несколько примеров.

Примеры четырехугольников с вписанными окружностями

• В прямоугольник можно вписать окружность только в том случае, если он является квадратом. Тогда противоположные стороны равны, значит, выполнено нужное условие.

• Во всякий ромб можно вписать окружность, поскольку его противоположные стороны равны по определению ромба.

• Равнобедренную трапецию всегда можно вписать в окружность, а в произвольную трапецию - только при выполнении соответствующего условия равенства сумм противоположных сторон.

Итак, чтобы проверить, можно ли в данный четырехугольник вписать окружность, достаточно вычислить длины всех его сторон и попарно сложить противоположные.

Нахождение центра вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в четырехугольник, всегда лежит в точке пересечения биссектрис этого четырехугольника. Это позволяет построить такую окружность:

1. Найти биссектрисы четырехугольника
2. Найти их точку пересечения
3. Из этой точки очертить окружность, касающуюся сторон четырехугольника

Рассмотрим условный четырехугольник ABCD с длинами сторон AB = 5, BC = 4, CD = 6, AD = 3. Сначала проверим условие:

AB + CD = 5 + 6 = 11

BC + AD = 4 + 3 = 7

Условие выполнено, значит, можно вписать окружность. Находим биссектрисы и их точку пересечения O - это и есть центр нужной нам окружности.

Построение вписанной окружности

Используя найденный центр O, построим окружность, вписанную в исходный четырехугольник ABC. Для этого возьмем циркуль и, установив одну ножку в точку O, другой ножкой коснемся по очереди всех сторон четырехугольника, не пересекая его. Получим окружность радиуса 2,5, вписанную в четырехугольник ABC.

Специальные случаи

Рассмотрим некоторые частные случаи четырехугольников с вписанными окружностями:

• Для параллелограмма биссектрисы совпадают с диагоналями, а центр O вписанной окружности является их точкой пересечения.

• В прямоугольник, не являющийся квадратом, окружность вписать нельзя. Но если прямоугольник - квадрат, то центр O совпадает с точкой пересечения диагоналей.

• Для ромба центр O вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис и делит каждую из диагоналей пополам.

Задачи с вписанными окружностями

Рассмотрим несколько примеров типовых задач, когда в четырехугольник можно вписать окружность, встречающихся на ЕГЭ:

1. В четырехугольник ABCD вписан в окружность угол Z равен 110°, X = 100°. Найти величину угла Y.

   Решение: Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, получаем: Z + Y = 180° => Y = 70°.

2. Одна из сторон четырехугольника равна 12 см. Около этого четырехугольника описана окружность, диаметр которой 30 см. Найти периметр исходного четырехугольника.

   Решение: Радиус описанной окружности = 15 см. По теореме, площадь описанного четырехугольника равна произведению радиуса на полупериметр. Подставив числовые значения, получаем: S = 15 * P/2 => P = 48 см.

Историческая справка

Теоремы о вписанных в четырехугольники окружностях впервые доказал древнегреческий математик и механик Архимед в III веке до н.э. Он же впервые применил эти знания на практике.

Архимед вычислил, что всякую правильную многоугольную звезду можно вписать в окружность, а затем описать вокруг нее другую окружность. Это позволило ему конструировать зубчатые передачи для передачи вращения.

Вписанные окружности в архитектуре

Знание свойств вписанных окружностей активно использовалось в архитектуре Древнего Рима и эпохи Возрождения. В частности, при проектировании куполов и арок, которые можно рассматривать как части окружностей, вписанных в определенные четырехугольники.

Современное применение

В наши дни свойства вписанных окружностей применяются в строительстве, при разработке геоинформационных систем, компьютерной графике, 3D-моделировании. Например, для построения сложных трехмерных моделей используются расчеты координат точек вписанных окружностей.

Открытые вопросы

Несмотря на многовековую историю, теория вписанных окружностей до сих пор не лишена загадок. Остается открыт вопрос о наибольшем числе окружностей, которые можно вписать в выпуклый n-угольник непересекающимися способами. Для некоторых значений n эта проблема еще не решена.

Любопытные факты

Существуют «парадоксальные» четырехугольники, в которые можно вписать окружность, но при этом одна из сторон четырехугольника выступает за границы окружности! Такие фигуры иногда используются фокусниками для различных трюков и иллюзий.

Оказывается, в некоторые четырехугольники можно вписать сразу две окружности! При определенных условиях это возможно, хотя далеко не всегда.

Построение вписанных окружностей

Для построения окружности, вписанной в произвольный выпуклый четырехугольник, можно использовать циркуль и линейку:

1. Провести биссектрисы двух соседних углов четырехугольника
2. Найти точку их пересечения O - это будет центр окружности
3. Разместить циркуль так, чтобы одна ножка была в точке O, а вторая последовательно касалась всех сторон четырехугольника
4. Провести окружность, касающуюся всех сторон четырехугольника

Для построения вписанных окружностей в тупоугольные или невыпуклые четырехугольники алгоритм аналогичный.

Компьютерное моделирование

С помощью современных компьютерных программ, таких как КОМПАС, AutoCAD, SolidWorks и других, можно легко и точно строить чертежи с вписанными окружностями. Достаточно задать координаты вершин четырехугольника и воспользоваться соответствующими командами программ.

Обратная задача

Помимо прямой задачи (вписать окружность в данный четырехугольник), может быть поставлена и обратная: построить четырехугольник с заданными свойствами, в который можно вписать окружность. Решение таких задач требует знания дополнительных теорем и умения решать системы уравнений.

Обобщения и аналоги

Теоремы о вписанных окружностях можно обобщить на многоугольники с большим количеством сторон, а также на многогранники в пространстве. Существуют похожие результаты о сферах, вписанных в многогранники, цилиндрах и конусах.

Приложения в других областях

Идеи теории вписанных окружностей применяются далеко за пределами геометрии - в физике, химии, биологии. Например, при изучении строения атомов и молекул, взаимного расположения частиц в кристаллических решетках.