Когда дискриминант равен нулю, решения квадратного уравнения совпадают

Квадратные уравнения - одна из важнейших тем школьного курса алгебры. Умение находить корни таких уравнений пригодится для решения многих практических задач. Давайте разберемся, что происходит в случае, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю и почему тогда его корни совпадают.

Основные понятия

Напомним определения основных элементов квадратного уравнения:

• Старший коэффициент при квадрате переменной обозначается буквой а
• Коэффициент при самой переменной называется линейным и обозначается буквой b
• Свободный член без переменной обозначается буквой с

Общий вид квадратного уравнения:

ax² + bx + c = 0

Для нахождения корней такого уравнения используется понятие дискриминанта, обозначаемого буквой D. Он вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

В зависимости от знака дискриминанта, различают три основных случая:

1. D > 0 - два различных действительных корня
2. D = 0 - два совпадающих действительных корня
3. D < 0 - нет действительных корней

Посмотрим, как это проявляется в явном виде при вычислении корней.

Формулы для нахождения корней через дискриминант

Корни квадратного уравнения обозначаются х1 и х2. Они находятся по формулам:

x1 = (-b + √D)/2a

x2 = (-b - √D)/2a

Рассмотрим значение этих формул при разных D:

1. D > 0:

   √D - некоторое положительное число x1 ≠ x2 , так как √D прибавляется в одном случае и вычитается в другом Получаем два различных действительных корня

2. D = 0:

   √0 = 0 x1 = x2, так как прибавление и вычитание 0 не меняет значения Получаем два совпадающих действительных корня

3. D < 0:

   √отрицательного числа - невозможно корни не являются действительными

Итак, мы видим, что дискриминант равен нулю формула дает совпадающие корни. А почему это происходит - давайте разберемся дальше.

Примеры решения квадратных уравнений

Рассмотрим конкретные примеры с разными случаями дискриминанта, чтобы наглядно увидеть совпадение корней.

Пусть дано уравнение:

2x² + 5x - 7 = 0

Вычисляем дискриминант:

D = b² - 4ac =
= 5² - 4·2·(-7) = = 25 - 56 = = 31

Так как D > 0, по формулам находим два корня:

x1 = (-b + √D)/2a = (-5 + √31)/4 = -3,5 /> x2 = (-b - √D)/2a = (-5 - √31)/4 = 1

Получили два разных действительных корня x1 ≠ x2, так как √31 то прибавляли, то вычитали в формулах.

Теперь возьмем уравнение, в котором D = 0:

x² - 4x + 4 = 0

Выписываем коэффициенты:

Дискриминант равен:

D = b² - 4ac = = (-4)² - 4·1·4 = = 16 - 16 = 0

Из формул находим:

x1 = x2 = -b/2a = 4/2 = 2

Корни совпали, потому что √0 = 0, то есть прибавление и вычитание нуля к (-4)/2 не изменило значения.

Графическая интерпретация

Дискриминант равен нулю - это особый случай с точки зрения графика квадратичной функции. Давайте посмотрим, как выглядит график в зависимости от знака дискриминанта.

• D > 0 - график пересекает ось OX в двух точках, соответствующих двум разным корням уравнения:

  Copy code

• D < 0 - график не пересекает ось OX, так как корней нет:

  Copy code

• D = 0 - график касается оси в одной точке, соответствующей единственному корню:

  Copy code

Видим, что равенство дискриминанта нулю на графике соответствует касанию оси в одной точке. Это и есть графическое отображение совпадения корней квадратного уравнения.

Решение текстовых задач

Часто квадратные уравнения возникают при решении прикладных задач. Делать, если в процессе решения мы получим дискриминант, равный нулю?

Рассмотрим такую задачу:

Найти сторону квадрата, если его площадь равна 100 кв.м.

Обозначим сторону через х. Тогда площадь квадрата равна:

S = x²

Приравняем это выражение к 100 и получим квадратное уравнение:

x² = 100

Выписываем коэффициенты:

Дискриминант равен:

D = b² - 4ac = 0² - 4·1·100 = 0

Геометрическая интерпретация в задачах

Как видим, при решении геометрических задач на вычисление параметров фигур часто возникает ситуация с дискриминант равен нулю. Это связано с квадратичной зависимостью между элементами фигур.

Аналогии из других областей знаний

Совпадение решений при определенных условиях - распространенное явление. Можно провести аналогии с движением объектов, химическими реакциями, биологическими процессами.

Например, корабль плывет по течению и против ветра одинаковой силы. Результирующая скорость будет равна нулю, то есть совпадающей.

Применение квадратных уравнений в физике

Квадратные зависимости часто встречаются в физических формулах. Рассмотрим примеры.

Пусть тело брошено под углом α к горизонту. Траектория полета описывается уравнением:

y = x*tan(α) - g*x^2/2V^2

Где y - высота, x - дальность, g - ускорение свободного падения, V - начальная скорость.

Мы видим здесь квадратичную зависимость высоты от дальности. При определенном соотношении параметров высота перестает зависеть от дальности - происходит совпадение решений уравнения.

Квадратные уравнения в экономике

В экономических расчетах тоже встречаются квадратичные модели. Например, зависимость прибыли фирмы от объема производства часто описывается параболой.

Пусть затраты компании состоят из постоянных издержек A и переменных издержек bx. Тогда прибыль компании составит:

П = Выручка - Затраты = px - A - bx^2

Где p - цена за единицу продукции, x - объем производства. Мы опять видим квадратичную зависимость.

Квадратичные уравнения в социологии

И в социальных науках встречаются модели с квадратичными членами. Например, закон Энгеля гласит, что с ростом доходов люди тратят меньшую долю денег на питание. Эту зависимость можно описать уравнением:

d = a + b/x^2

где d - доля расходов на питание, x - доход, a и b - некоторые коэффициенты. Здесь мы также видим обратную квадратичную зависимость.

Программная реализация

Решение квадратных уравнений реализуется во многих математических пакетах и языках программирования. Рассмотрим пример на Python:

import math a = 2 b = 5 c = -7 D = b**2 - 4*a*c, если D > 0: x1 = (-b + math.sqrt(D)) / (2*a) x2 = (-b - math.sqrt(D)) / (2*a) elif D == 0: x = -b / (2*a) else: print("Нет корней") print(x1, x2)

Здесь используется тот же подход через вычисление дискриминанта и применение разных формул для корней в зависимости от его значения.