Графики функций, их виды и основные свойства
Графики функций - это наглядное представление зависимостей между переменными. Знание различных видов функций и их графиков позволяет решать множество практических задач из самых разных областей. Давайте разберемся в основных видах функций, рассмотрим их графики и изучим свойства.
Что такое функция и ее график
Функция - это зависимость одной переменной от другой. Например, если у = 2x + 1, то значение у зависит от значения x. График функции - это геометрическое представление этой зависимости на координатной плоскости.
Для построения графика нужно:
- Задать функцию у = f(x)
- Подставить различные значения x и вычислить соответствующие значения у
- Полученные пары значений (x, y) отметить точками на координатной плоскости
- Соединить точки плавной линией
Например, для функции у = 2x + 1 при x = -2 получим y = -3, а при x = 1 получим y = 3. Отмечаем эти точки на плоскости и соединяем отрезком - это и есть график функции:
Рассмотрим несколько примеров графиков простейших функций:
- y = 2x - прямая линия
- y = x2 - парабола
- y = |x| - ломаная линия
- y = 1 - горизонтальная прямая
Элементарные функции и их классификация
Элементарными называются основные виды функций, из которых можно получить более сложные. К ним относятся:
- Линейная функция
- Квадратичная функция
- Степенная функция
- Показательная функция
- Логарифмическая функция
- Тригонометрические функции
Классифицировать функции можно по разным признакам:
- По виду формулы:
- Алгебраические (многочлены)
- Трансцендентные (показательная, логарифмическая и тригонометрические)
- По количеству переменных:
- Одной переменной y = f(x)
- Двух переменных z = f(x, y)
- По области определения:
- Вещественные функции
- Целочисленные функции
- Комплексные функции
Подробно остановимся на изучении графиков основных элементарных функций.
Графики основных элементарных функций
Рассмотрим последовательно графики линейной, квадратичной, степенной и других элементарных функций. Изучим их отличительные особенности.
Линейная функция и ее график
Общий вид линейной функции:
y = kx + b
Где k и b - некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая линия. Значения k и b влияют на ее положение:
- k - тангенс угла наклона к оси 0x
- b - отрезок отсеченный прямой на оси 0y
Например, у = 2x графиком будет линия под углом 45 градусов к оси 0x. А у = x + 1 будет той же прямой, сдвинутой на 1 единицу вверх.
Основные свойства линейной функции:
- Монотонная (возрастающая или убывающая)
- Неограниченная по области значений
Перейдем к изучению следующего вида функций - квадратичных.
Тригонометрические функции и их графики
К тригонометрическим относятся функции:
- y = sinx
- y = cosx
- y = tgx
Их графики имеют волнообразный периодический характер. Период функций sinx и cosx равен 2π, а функции tgx - π.
Преобразования графиков функций
Из графиков элементарных функций путем преобразований можно получать более сложные графики. Рассмотрим основные виды преобразований:
- Параллельный перенос
- Растяжение/сжатие
- Отражение
Параллельный перенос графика функции
Параллельный перенос заключается в сдвиге исходного графика вдоль осей координат. Для его осуществления достаточно прибавить или вычесть числовой коэффициент в уравнении функции.
Например, график функции y = x + 1 будет получен из графика y = x параллельным переносом на 1 единицу вверх.
Растяжение или сжатие графика функции
Для растяжения или сжатия графика в n раз по оси ОХ нужно заменить x на nx. А по оси ОУ - заменить у на ну.
Так, график y = 0.5x будет сжатием в 2 раза графика функции y = x относительно оси ОУ.
Отражение графика функции
Для отражения графика относительно осей координат нужно поменять знаки соответствующих переменных на противоположные в уравнении функции.
Например, график y = |x| получается отражением графика y = x относительно оси ОУ.
Поворот графика функции
Поворот графика осуществляется с помощью тригонометрических функций. Например, график y = sinx можно получить поворотом прямой y = x на угол 90 градусов.
Комбинация преобразований графиков функций
Часто применяется последовательное выполнение нескольких преобразований графика функции. Например, сначала производится параллельный перенос, затем отражение, далее растяжение по одной из осей.
Рассмотрим последовательное применение преобразований на примере функции y = x:
- Параллельный перенос на 2 единицы вверх: y = x + 2
- Отражение относительно оси OY: y = |x + 2|
- Растяжение в 2 раза относительно оси OX: y = |2x + 2|
В результате получается довольно сложный ломаный график функции от одной переменной.
Графическое решение уравнений
Одно из важных применений графиков функций - решение алгебраических уравнений графическим способом. Для этого строят графики левой и правой частей уравнения. Точки их пересечения и будут корнями искомого уравнения.
По виду графика функции можно определить такие ее важные характеристики, как промежутки возрастания/убывания, экстремумы, асимптоты, период и другие свойства.
Моделирование реальных процессов с помощью графиков функций
Графики функций широко используются для моделирования различных реальных процессов и явлений. Например, с помощью гармонических колебаний, описываемых синусоидальной или косинусоидальной функциями.
Рост численности популяций организмов также успешно моделируется экспоненциальными и логистическими функциями. Их графики позволяют прогнозировать динамику роста популяции.
Визуализация данных с помощью графиков функций
Графики функций используются для наглядного представления числовых данных в виде гистограмм, кривых роста, графиков прибыли/убытков, графиков биржевых котировок акций и многого другого.
Это позволяет легко визуализировать имеющиеся данные, анализировать тенденции, проводить прогнозы.
Задачи на построение графиков функций
В курсе математики большое внимание уделяется решению задач на построение графиков функций. Это требует знания свойств основных функций и умения выполнять преобразования графиков.
Обратная задача - определение свойств функции по заданному графику. Это важное умение, позволяющее анализировать и интерпретировать графическую информацию.