Теорема Птолемея: свойства четырехугольников, вписанных в окружность

Теорема Птолемея устанавливает удивительную взаимосвязь между сторонами и диагоналями четырехугольника, вписанного в окружность. Это один из самых известных результатов планиметрии с множеством следствий и приложений.

Формулировка и доказательства теоремы Птолемея

Сформулируем теорему Птолемея для вписанного четырехугольника:

Произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Иными словами, если обозначить стороны четырехугольника ABCD за a, b, c, d, а его диагонали AC и BD за d1 и d2, то справедливо равенство:

d1·d2 = a·c + b·d

Рассмотрим несколько доказательств этой фундаментальной теоремы.

Первое доказательство: использование тригонометрических соотношений

Поскольку углы ABC и ADC в сумме дают 180°, то их косинусы имеют противоположны знаки и в сумме дают 0. Разложив эту сумму и воспользовавшись формулами для косинуса через стороны, получаем требуемое тождество.

Второе доказательство: применение теоремы синусов

Применим теорему синусов к треугольникам ACD и ACB. После преобразований получим:

BD·AC = AD·BC + AB·CD

Это и есть утверждение теоремы Птолемея.

доказательство теоремы птолемея из соображений двойственности

Рассмотрим полярную окружность четырехугольника ABCD и построим хорды, соединяющие точки касания противоположных сторон. Согласно принципу двойственности, длины этих хорд равны произведениям соответствующих сторон исходного четырехугольника. А их сумма по теореме Птолемея для полярного четырехугольника равна произведению диагоналей ABCD.

Рассмотрим некоторые важные следствия из теоремы Птолемея.

Теорема Птолемея и теорема синусов

Применив теорему синусов к треугольнику ACD, получаем:

sinA : sinC = AC : CD

Аналогично для треугольника ABC имеем:

sinB : sinC = AB : BC

Перемножив эти равенства и подставив теорему Птолемея, приходим к тождеству:

sinA·sinB = sinC·sinD

Это выражает теорему Птолемея через синусы углов четырехугольника.

Обратная теорема Птолемея

Если выполнено равенство AB·CD + BC·AD = AC·BD, то около четырехугольника ABCD можно описать окружность. Это следует из рассмотрения отрезков, соединяющих противоположные вершины четырехугольника.

Формула Брахмагупты для площади

Из теоремы Птолемея можно получить формулу для вычисления площади произвольного вписанного четырехугольника через его стороны. Это формула индийского математика VII века Брахмагупты:

S = √(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)

где s - полупериметр четырехугольника, a b c d - длины его сторон. Формула может быть выведена из теоремы Птолемея с использованием теоремы синусов.

Применение к параллелограммам и трапециям

Для частных случаев четырехугольника теорема Птолемея позволяет получить интересные следствия:

• Для параллелограмма справедливо равенство диагоналей
• Для равнобедренной трапеции одна диагональ делит другую пополам

Примеры применения теоремы Птолемея

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение теоремы Птолемея для решения геометрических задач:

1. Найти площадь ромба по диагоналям
2. Вычислить расстояние между центрами окружностей по хорде
3. Доказать, что медианы трапеции пересекаются под прямым углом

Подробные решения приведены ниже с использованием теоремы Птолемея и ее следствий.

Обобщение на многоугольники

Теорему Птолемея можно обобщить на произвольные многоугольники. Для многоугольника с n сторонами справедливо равенство:

d1·d2·...·dn-3 = ∑(произведений противоположных сторон)

Это позволяет применять идеи теоремы Птолемея к многоугольникам с любым числом сторон.

Применение теоремы Птолемея в стереометрии

Теорема Птолемея находит интересные применения не только в планиметрии, но и в стереометрии.

Рассмотрим пирамиду SABC с основанием ABC и вершиной S. Проведем боковые ребра SA, SB, SC и высоту SH пирамиды. Тогда сечением плоскостью, проходящей через ребро SC и высоту SH, будет четырехугольник AHBC, вписанный в окружность. К нему можно применить теорему Птолемея:

AH·BC = AB·CH + AC·BH

Аналогичные соотношения получаются для других сечений, проходящих через высоту пирамиды. Это позволяет устанавливать связи между элементами пирамиды с помощью теоремы Птолемея.

Обобщение теоремы Птолемея в пространстве

Существует обобщение теоремы Птолемея на четырехугольную пирамиду с вершиной S и основанием ABCD:

СА·BC + SA·CD = SB·AC + SD·AB

Здесь SA, SB, SC, SD - это наклонные ребра пирамиды. Это обобщение можно доказать, рассматривая сечения пирамиды аналогично предыдущему случаю.

Применение теоремы Птолемея в физике и других науках

Удивительно, но теорема Птолемея находит приложения далеко за пределами геометрии. Например, в физике она используется при выводе закона сохранения импульса. А в экономике позволяет устанавливать балансовые соотношения между показателями предприятия.

Это еще раз подчеркивает универсальность математических идей, сформулированных в виде теоремы Птолемея более 2000 лет назад!