Методы оптимизации. Метод Ньютона в численных расчетах

Метод Ньютона - классический численный алгоритм для эффективного решения разнообразных задач оптимизации и поиска корней уравнений. Он использует информацию о производной функции для быстрой сходимости к решению.

Сущность метода Ньютона

Основная идея метода Ньютона заключается в следующем. Для решения уравнения $f(x)=0$ строится касательная к графику функции $f(x)$ в некоторой точке $x_n$. Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс используется в качестве следующего приближения $x_{n+1}$.

Аналитически это выражается формулой:

где $x_n$ - текущее приближение корня, $f(x_n)$ - значение функции в этой точке, $f'(x_n)$ - значение производной (наклон касательной).

Таким образом, метод Ньютона позволяет последовательно уточнять решение, используя информацию о касательной в текущей точке.

Квадратичная сходимость

Метод Ньютона обладает квадратичной скоростью сходимости, то есть ошибка уменьшается пропорционально квадрату числа итераций. Это значит, что точность вычислений быстро растет и за несколько шагов можно получить решение с высокой точностью.

Пример: решение уравнения

Рассмотрим на конкретном примере решение уравнения $f(x) = 2x^3 - 4x^2 - 36 = 0$ методом Ньютона. В качестве начального приближения возьмем $x_0 = 2$.

1. Вычисляем значения $f(x_0)$ и $f'(x_0)$:
   $f(2) = 2\cdot8 - 4\cdot4 - 36 = -20$ $f'(x) = 6x^2 - 8x$, отсюда $f'(2) = 6\cdot4 - 8\cdot2 = 8$
2. Подставляем в формулу метода Ньютона: $$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{-20}{8} = 3$$
3. Повторяем, получаем $x_2 = 3 - \frac{-12}{14} = 3,857$
4. Еще одна итерация дает $x_3 = 3,857 - 0 = 3,857$

За три шага метод Ньютона позволил найти решение данного уравнения с высокой точностью.

Применение к задачам оптимизации

Метод Ньютона также можно использовать для решения задач оптимизации, в частности, для нахождения экстремума функций. Рассмотрим связь с выпуклой оптимизацией.

Пусть задана некая функция $f(x)$, которую требуется минимизировать. Согласно необходимому условию экстремума, точка минимума $x^*$ удовлетворяет уравнению:

То есть градиент функции в этой точке равен нулю. Это уравнение как раз и можно решить методом Ньютона!

Вычисление направления спуска

В методе Ньютона для оптимизации на каждой итерации вычисляется направление спуска $d_k$ как решение линейной системы:

Здесь $\nabla^2 f(x_k)$ - матрица Гессе функции $f$ в точке $x_k$. Решение этой системы и задает направление, в котором функция убывает быстрее всего.

Роль гессиана в методе

Таким образом, в отличие от градиентных методов, где используется только значение градиента функции, метод Ньютона учитывает информацию о вторых производных (гессиан). Это позволяет автоматически корректировать направление спуска с учетом изменения кривизны функции.

В результате метод Ньютона значительно быстрее сходится к решению по сравнению с градиентными алгоритмами.

Теорема о локальной квадратичной сходимости

Пусть функция $f$ имеет достаточно гладкий гессиан и сильно выпукла в точке оптимума $x^*$. Тогда существует окрестность этой точки, в которой метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью.

Эта теорема строго доказывает сходимость метода Ньютона для достаточно хорошо обусловленных выпуклых задач оптимизации. При выполнении условий теоремы скорость сходимости алгоритма очень высока.

Пример: нахождение минимума функции

Рассмотрим метода Ньютона для нахождения минимума функции $f(x) = x^4 - 3x^2 + 4$.

1. Начальное приближение $x_0 = 2$;
2. Вычисляем градиент и гессиан:
   $f'(x) = 4x^3 - 6x$ $f''(x) = 12x^2 - 6$
3. Подставляем в формулы:
   $f'(2) = 4\cdot8 - 6\cdot2 = 20$ $f''(2) = 12\cdot4 - 6 = 42$
4. Решаем систему: $$d_0 = -\frac{f'(x_0)}{f''(x_0)} = -\frac{20}{42} = -0.48$$
5. Обновляем приближение: $$x_1 = x_0 + d_0 = 2 - 0.48 = 1.52$$
6. Повторяя, получаем $x_2 = 1.5136$, $x_3 = 1.5134$

За три итерации метод Ньютона позволил с высокой точностью найти точку минимума данной функции.

Рассмотрим более подробно достоинства и недостатки классического метода Ньютона.

Преимущества: скорость, геометрия

К достоинствам метода можно отнести:

• Высокая скорость сходимости за счет использования информации о кривизне функции;
• Автоматический учет геометрии функции в окрестности решения.

Это позволяет методу Ньютона очень эффективно сходиться к решению для хорошо обусловленных задач.

Недостатки: вычисление гессиана, память

Однако у метода Ньютона есть и недостатки:

• Необходимость вычисления гессиана на каждой итерации;
• Большие затраты памяти для хранения матрицы размера $d \times d$.

Это ограничивает масштабируемость классического метода Ньютона для задач большой размерности (например, сотни тысяч переменных).

Проблема плохой обусловленности задачи

Еще один потенциальный недостаток - плохая обусловленность задачи оптимизации. Это означает, что гессиан функции в точке экстремума имеет большой разброс собственных чисел.

В таком случае скорость сходимости метода Ньютона сильно замедляется. Однако, в отличие от градиентных методов, он сохраняет инвариантность к линейным преобразованиям.

Работа с невыпуклыми функциями

Классический метод Ньютона также неприменим для невыпуклых задач оптимизации, поскольку гессиан теряет положительную определенность.

Однако существуют модификации алгоритма, работающие и в невыпуклом случае. Например, добавление диагональной регуляризации к матрице гессиана.

Вычислительная сложность

Асимптотическая сложность одной итерации метода Ньютона составляет $O(d^3)$, что связано с необходимостью обращения матрицы гессиана размерности $d\times d$.

Это также является существенным ограничением для применения алгоритма на практике в задачах большой размерности.