Когда векторы встречаются под прямым углом? Условия их перпендикулярности
Когда в последний раз вы задумывались о том, как определить, перпендикулярны ли два вектора? Хотя это кажется простой задачей, ответить на нее не так-то легко. В этой статье мы разберем основные способы проверки перпендикулярности векторов, узнаем, какие условия должны выполняться, чтобы два вектора считались взаимно перпендикулярными, и на практических примерах покажем, как это применять.
Основные определения и понятия
Для начала давайте разберемся с тем, что такое вектор и какие бывают его основные свойства. Вектор - это направленный отрезок, который задается длиной и направлением. Вектор характеризуется такими свойствами, как модуль (длина), направление, сонаправленность, коллинеарность, компланарность и перпендикулярность.
Последнее свойство нас как раз и интересует в рамках этой статьи. Перпендикулярными называются два ненулевых вектора, угол между которыми равен 90 градусов. Геометрически это выглядит так:
Но в математике часто используется не геометрическое, а аналитическое определение перпендикулярности векторов. Оно гласит, что два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
Это условие называется условием перпендикулярности двух векторов. Оно справедливо как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.
Основные способы определения перпендикулярности векторов
Чтобы определить, являются ли два вектора взаимно перпендикулярными, можно использовать несколько подходов и методов:
- Геометрические методы
- Аналитические методы: Скалярное произведение Координатный метод
- Метод векторного произведения
Рассмотрим каждый из этих способов подробнее.
Геометрические методы определения перпендикулярности векторов
Если изобразить два вектора геометрически и измерить угол между ними с помощью транспортира, можно определить - равен ли этот угол 90 градусам. Если да, то векторы перпендикулярны.
Этот метод хорошо подходит при работе с чертежами или когда известно только геометрическое изображение векторов. Но на практике чаще приходится иметь дело с аналитическим заданием векторов, поэтому важно владеть и другими способами проверки их перпендикулярности.
Аналитические методы определения перпендикулярности векторов
С помощью скалярного произведения векторов
Этот способ основан на проверке выполнения уже упомянутого ранее условия:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
Для векторов \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2)\) на плоскости это условие записывается как:
\(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 0\)
Подставив координаты векторов в эту формулу и убедившись, что результат равен нулю, можно сделать вывод об их перпендикулярности.
Координатный метод
Этот метод тоже основан на аналитическом задании векторов. Здесь условие перпендикулярности проверяется по координатам векторов:
- Для плоскости: \(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 0\)
- Для пространства: \(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 = 0\)
Подход аналогичен использованию скалярного произведения.
Метод векторного произведения
Еще одним аналитическим методом проверки перпендикулярности векторов является использование их векторного произведения. Векторное произведение двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) обозначается как \([\vec{a}, \vec{b}]\) и равно нулю в случае их коллинеарности или перпендикулярности:
\([\vec{a}, \vec{b}] = 0\) при \(\vec{a} \perp \vec{b}\)
Таким образом, подставив координаты векторов в формулу для векторного произведения и получив нулевой результат, можно заключить, что они взаимно перпендикулярны.
Сравнение методов определения перпендикулярности векторов
Каждый из рассмотренных выше методов имеет свои преимущества и недостатки. Геометрический метод удобен для работы с графическим изображением векторов, но неприменим в аналитических задачах. Методы скалярного и векторного произведений более универсальны, но требуют вычислений. Координатный метод прост в использовании, но применим только для аналитически заданных векторов.
В зависимости от конкретных условий задачи следует выбирать наиболее подходящий подход.
Применение условия перпендикулярности параллельности векторов
Определение перпендикулярности или параллельности векторов часто является промежуточным этапом при решении различных геометрических и физических задач. Рассмотрим несколько примеров.
- Нахождение уравнения плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору нормали.
- Вычисление проекции вектора на ось координат, зная, что ось перпендикулярна исходному вектору.
В подобных случаях проверка условия перпендикулярности или параллельности является обязательным этапом решения.
Примеры задач с использованием условия перпендикулярности
Рассмотрим несколько конкретных примеров задач, в которых применяется условие перпендикулярности векторов.
Задача 1
Даны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Требуется найти такой вектор \(\vec{c}\), который перпендикулярен \(\vec{a}\) и параллелен \(\vec{b}\).
Решение:
- Записываем условие перпендикулярности векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\): \(\vec{a} \cdot \vec{c} = 0\)
- Записываем условие параллельности векторов \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\): \(\vec{b} = k \cdot \vec{c}\), где \(k\) - скаляр
Решая совместно эти уравнения, находим искомый вектор \(\vec{c}\).
Задача 2
Дана плоскость, проходящая через точку \(A(x_0, y_0, z_0)\) перпендикулярно вектору \(\vec{n}\). Требуется найти уравнение этой плоскости.
Решение:
- Записываем уравнение плоскости в виде \(\vec{r} \cdot \vec{n} = d\)
- Подставляем координаты точки \(A\) и используем условие перпендикулярности плоскости и вектора \(\vec{n}\)
В результате получаем искомое уравнение плоскости.
Выводы:
Прямой угол между векторами возникает в том случае, если эти векторы перпендикулярны. То есть, если угол между ними составляет 90 градусов. Альтернативным вариантом является угол величиной 180 градусов, при котором векторы противоположно направлены. Важно отметить, что подобное явление имеет место быть не только при анализе векторов в линейной алгебре, но и при работе с геометрическими фигурами.