Дифференциалы - это что такое? Как найти дифференциал функции?

Наряду с производными функций их дифференциалы – это одни из базовых понятий дифференциального исчисления, основного раздела математического анализа. Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при решении практически всех задач, которые возникали в процессе научно-технической деятельности человека.

Возникновение понятия о дифференциале

Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один из создателей (наряду с Исааком Ньютоном) дифференциального исчисления знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. До этого математиками 17 ст. использовалось весьма нечеткое и расплывчатое представление о некоторой бесконечно малой «неделимой» части любой известной функции, представлявшей очень малую постоянную величину, но не равную нулю, меньше которой значения функции быть просто не могут. Отсюда был всего один шаг до введения представления о бесконечно малых приращениях аргументов функций и соответствующих им приращениях самих функций, выражаемых через производные последних. И этот шаг был сделан практически одновременно двумя вышеупомянутыми великими учеными.

Исходя из необходимости решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника, Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций (прежде всего применительно к механической скорости движения тела по известной траектории), что привело к введению таких понятий, как производная и дифференциал функции, а также нашли алгоритм решения обратной задачи, как по известной (переменной) скорости найти пройденный путь, что привело к появлению понятия интеграла.

В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы - это пропорциональные приращениям аргументов Δх основные части приращений функций Δу, которые могут быть с успехом применены для вычисления значений последних. Иначе говоря, ими было открыто, что приращение функции может быть в любой точке (внутри области ее определения) выражено через ее производную как Δу = y'(x) Δх + αΔх, где α Δх – остаточный член, стремящийся к нулю при Δх→0, гораздо быстрее, чем само Δх.

Согласно основоположникам матанализа, дифференциалы – это как раз и есть первые члены в выражениях приращений любых функций. Еще не обладая четко сформулированным понятием предела последовательностей, они интуитивно поняли, что величина дифференциала стремится к производной функции при Δх→0 - Δу/Δх→ y'(x).

В отличие от Ньютона, который был прежде всего физиком, и рассматривал математический аппарат как вспомогательный инструмент исследования физических задач, Лейбниц уделял большее внимание самому этому инструментарию, включая и систему наглядных и понятных обозначений математических величин. Именно он предложил общепринятые обозначения дифференциалов функции dy = y'(x)dx, аргумента dx и производной функции в виде их отношения y'(x) = dy/dx.

Современное определение

Что такое дифференциал с точки зрения современной математики? Он тесно связан с понятием приращения переменной величины. Если переменная y принимает сначала значение y = y₁, а затем y = y₂, то разность y₂ ─ y₁ называется приращением величины y.

Если величину Δу произвольной функции y = f (x) возможно представить в виде Δу = A Δх + α, где у A нет зависимости от Δх, т. е. A = const при данном х, а слагаемое α при Δх→0 стремится к нему же еще быстрее, чем само Δх, тогда первый («главный») член, пропорциональный Δх, и является для y = f (x) дифференциалом, обозначаемым dy или df(x) (читается «дэ игрек», «дэ эф от икс»). Поэтому дифференциалы – это «главные» линейные относительно Δх составляющие приращений функций.

Механическое истолкование

Пусть s = f (t) – расстояние прямолинейно движущейся материальной точки от начального положения (t – время пребывания в пути). Приращение Δs – это путь точки за интервал времени Δt, а дифференциал ds = f' (t) Δt – это путь, который точка прошла бы за то же время Δt, если бы она сохранила скорость f'(t), достигнутую к моменту t. При бесконечно малом Δt воображаемый путь ds отличается от истинного Δs на бесконечно малую величину, имеющую высший порядок относительно Δt. Если скорость в момент t не равна нулю, то ds дает приближенную величину малого смещения точки.

Геометрическая интерпретация

Пусть линия L является графиком y = f (x). Тогда Δ х= MQ, Δу = QM' (см. рисунок ниже). Касательная MN разбивает отрезок Δу на две части, QN и NM'. Первая пропорциональна Δх и равна QN = MQ∙tg (угла QMN) = Δх f '(x), т. е QN есть дифференциал dy.

Вторая часть NM'дает разность Δу ─ dy, при Δх→0 длина NM' уменьшается еще быстрее, чем приращение аргумента, т.е у нее порядок малости выше, чем у Δх. В рассматриваемом случае, при f '(x) ≠ 0 (касательная не параллельна ОХ), отрезки QM'и QN эквивалентны; иными словами NM' уменьшается быстрее (порядок малости ее выше), чем полное приращение Δу = QM'. Это видно на рисунке (с приближением M'к М отрезок NM'составляет все меньший процент отрезка QM').

Итак, графически дифференциал произвольной функции равен величине приращения ординаты ее касательной.

Производная и дифференциал

Коэффициент A в первом слагаемом выражения приращения функции равен величине ее производной f '(x). Таким образом, имеет место следующее соотношение - dy = f '(x)Δх, или же df (x) = f '(x)Δх.

Известно, что приращение независимого аргумента равно его дифференциалу Δх = dx. Соответственно, можно написать: f '(x) dx = dy.

Нахождение (иногда говорят, «решение») дифференциалов выполняется по тем же правилам, что и для производных. Перечень их приведен ниже.

Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал

Здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Представление величиной f '(x)Δх дифференциала возможно при рассмотрении х в качестве аргумента. Но функция может быть сложной, в которой х может быть функцией некоторого аргумента t. Тогда представление дифференциала выражением f '(x)Δх, как правило, невозможно; кроме случая линейной зависимости х = at + b.

Что же касается формулы f '(x)dx= dy, то и в случае независимого аргумента х (тогда dx = Δх), и в случае параметрической зависимости х от t, она представляет дифференциал.

Например, выражение 2 x Δх представляет для y = x² ее дифференциал, когда х есть аргумент. Положим теперь х= t² и будем считать t аргументом. Тогда y = x² = t⁴.

Далее следует (t +Δt)² = t² + 2tΔt + Δt². Отсюда Δх = 2tΔt + Δt². Значит: 2xΔх = 2t² (2tΔt + Δt² ).

Это выражение не пропорционально Δt и потому теперь 2xΔх не является дифференциалом. Его можно найти из уравнения y = x² = t⁴. Он оказывается равен dy=4t³Δt.

Если же взять выражение 2xdx, то оно представляет дифференциал y = x² при любом аргументе t. Действительно, при х= t² получим dx = 2tΔt.

Значит 2xdx = 2t²2tΔt = 4t³Δt, т. е. выражения дифференциалов, записанные через две разные переменные, совпали.

Замена приращений дифференциалами

Если f '(x) ≠ 0, то Δу и dy эквивалентны (при Δх→0); при f '(x) = 0 (что означает и dy = 0), они не эквивалентны.

Например, если y = x², то Δу = (x + Δх)² ─ x²= 2xΔх + Δх², а dy=2xΔх. Если х=3, то имеем Δу = 6Δх + Δх² и dy = 6Δх, которые эквивалентны вследствие Δх²→0, при х=0 величины Δу = Δх² и dy=0 не эквивалентны.

Этот факт, вместе с простой структурой дифференциала (т. е. линейности по отношению к Δх), часто используется в приближенных вычислениях, в предположении, что Δу ≈ dy для малых Δх. Найти дифференциал функции, как правило, легче, чем вычислить точное значение приращения.

Например, имеем металлический куб с ребром х=10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на Δх = 0,001 см. Насколько увеличился объем V куба? Имеем V = х², так что dV = 3x²Δх = 3∙10²∙0/01 = 3 (см³). Увеличение объема ΔV эквивалентно дифференциалу dV, так что ΔV = 3 см³. Полное вычисление дало бы ΔV =10,01³ ─ 10³ = 3,003001. Но в этом результате все цифры, кроме первой ненадежны; значит, все равно, нужно округлить его до 3 см³.

Очевидно, что такой подход является полезным, только если возможно оценить величину привносимой при этом ошибки.

Дифференциал функции: примеры

Попробуем найти дифференциал функции y = x³, не находя производной. Дадим аргументу приращение и определим Δу.

Δу = ( Δх + x)³ ─ x³ = 3x²Δх + (3xΔх² + Δх³).

Здесь коэффициент A= 3x² не зависит от Δх, так что первый член пропорционален Δх, другой же член 3xΔх² + Δх³ при Δх→0 уменьшается быстрее, чем приращение аргумента. Стало быть, член 3x²Δх есть дифференциал y = x^3:

dy=3x²Δх=3x²dx или же d(x³) = 3x²dx.

При этом d(x³) / dx = 3x².

Найдем теперь dy функции y = 1/x через ее производную. Тогда d(1/x) / dx = ─1/х². Поэтому dy = ─ Δх/х².

Дифференциалы основных алгебраических функций приведены ниже.

Приближенные вычисления с применением дифференциала

Вычислить функцию f (x), а также ее производную f '(x) при x=a часто нетрудно, а вот сделать то же самое в окрестности точки x=a бывает нелегко. Тогда на помощь приходит приближенное выражение

f(a + Δх) ≈ f '(a)Δх + f(a).

Оно дает приближенное значение функции при малых приращениях Δх через ее дифференциал f '(a)Δх.

Следовательно, данная формула дает приближенное выражение для функции в конечной точке некоторого участка длиной Δх в виде суммы ее значения в начальной точке этого участка (x=a) и дифференциала в той же начальной точке. Погрешность такого способа определения значения функции иллюстрирует рисунок ниже.

Однако известно и точное выражение значения функции для x=a+Δх, даваемое формулой конечных приращений (или, иначе, формулой Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f '(ξ) Δх + f(a),

где точка x = a+ ξ находится на отрезке от x = a до x = a + Δх, хотя точное положение ее неизвестно. Точная формула позволяет оценивать погрешность приближенной формулы. Если же в формуле Лагранжа положить ξ = Δх /2, то хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило, гораздо лучшее приближение, чем исходное выражение через дифференциал.

Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала

Измерительные инструменты в принципе неточны, и привносят в данные измерений, соответствующие ошибки. Их характеризуют предельной абсолютной погрешностью, или, короче, предельной погрешностью – положительным числом, заведомо превышающим эту ошибку по абсолютной величине (или в крайнем случае равным ей). Предельной относительной погрешностью называют частное от ее деления на абсолютное значение измеренной величины.

Пусть точная формула y= f (x) использована для вычисляения функции y, но значение x есть результат измерения и поэтому привносит в y ошибку. Тогда, чтобы найти предельную абсолютную погрешность │‌‌Δу│функции y, используют формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f '(x)││Δх│,

где │Δх│является предельной погрешностью аргумента. Величину │‌‌Δу│ следует округлить в сторону увеличения, т.к. неточной является сама замена вычисления приращения на вычисление дифференциала.