Тезис Черча-Тьюринга: основные понятия, определение, вычислимые функции, значение и применение

Тезис Черча-Тьюринга относится к понятию эффективного, систематического или механического метода в логике, математике и информатике. Он формулируется как описание интуитивного понятия вычислимости и в отношении к общерекурсивным функциям чаще называется тезисом Черча. Он также относится к теории вычислимых при помощи компьютеров функций. Тезис появился в 1930-х годах, когда самих компьютеров еще не существовало. Позднее он был назван в честь американского математика Алонсо Черча и его британского коллеги Алана Тьюринга.

Эффективность метода достижения результата

Первым устройством, напоминавшим современный компьютер, была Bombie - машина, созданная английским математиком Аланом Тьюрингом. Она использовалась для расшифровки немецких сообщений во время Второй мировой войны. Но для своего тезиса и формализации понятия алгоритма он использовал абстрактные машины, впоследствии названные машинами Тьюринга. Тезис представляет интерес, как для математиков, так и для программистов, так как эта идея вдохновила создателей первых компьютеров.

В теории вычислимости тезис Черча-Тьюринга также известен как гипотеза о природе вычислимых функций. Он гласит, что для любой алгоритмически вычислимой функции на натуральных числах существует машина Тьюринга, способная ее вычислить. Или, другими словами, есть подходящий для нее алгоритм. Хорошо известным примером эффективности этого метода является тест-таблицы истинности для проверки тавтологичности.

Способ для достижения какого-либо желаемого результата называется «эффективным», «систематическим» или «механическим», если:

1. Метод задается в терминах конечного числа точных команд, каждая инструкция выражается при помощи конечного числа символов.
2. Он будет выполняться без ошибок, приведет к желаемому результату за определенное число шагов.
3. Метод может выполняться человеком без посторонней помощи любым оборудованием, кроме бумаги и карандаша
4. Он не требует понимания, интуиции или изобретательности со стороны человека, осуществляющего действия

Ранее в математике использовался неофициальный термин «эффективно вычислимый», чтобы обозначить функции, которые можно вычислить при помощи карандаша и бумаги. Но само понятие алгоритмической вычислимости было скорее интуитивным, чем чем-то конкретным. Теперь же оно характеризовалось функцией с натуральным аргументом, для которой существует алгоритм вычисления. Одним из достижений Алана Тьюринга было представление формально точного предиката, при помощи которого можно было бы заменить неформальный, если использовать условие эффективности метода. Черч сделал то же самое открытие.

Основные понятия рекурсивных функций

Замена предикатов, предложенная Тьюрингом, на первый взгляд выглядела отличной от той, что предложил его коллега. Но в результате они оказались эквивалентными, в том смысле, что каждый из них выбирает один и тот же набор математических функций. Тезис Черча-Тьюринга является утверждением, что это множество содержит каждую функцию, значения которой могут быть получены методом, удовлетворяющим условиям эффективности. Было еще одно отличие этих двух открытий. Оно заключалось в том, что Черч рассматривал только примеры положительных целых чисел, тогда как Тьюринг описывал свою работу как охватывающую вычислимые функции с интегральной или реальной переменной.

Общие рекурсивные функции

В первоначальной формулировке Черча говорится, что расчет может быть выполнен с использованием λ-исчисления. Это эквивалентно использованию общих рекурсивных функций. Тезис Черча-Тьюринга охватывает больше видов вычислений, чем те, которые изначально предполагались. Например, связанные с клеточными автоматами, комбинаторами, регистрационными машинами и системами замещения. В 1933 году математики Курт Гедель и Жаком Хербранд создали формальное определение класса, называемого общими рекурсивными функциями. Оно использует функции, в которых возможен более чем один аргумент.

Создание метода λ-исчисления

В 1936 году Алонсо Черч создал метод определения, называемых λ-исчислением. Он был связан с натуральными числами. Внутри λ-исчисления ученый определил их кодирование. В результате они получили название чисел Черча. Функция на основе натуральных чисел называлась λ-вычислимой. Было и другое определение. Функция из тезиса Черча называется λ-вычислимой при двух условиях. Первое звучало так: если она была рассчитана на элементах Черча, а вторым условием была возможность представления ​​членом λ-исчисления.

Также в 1936 году, прежде чем изучать работу своего коллеги, Тьюринг создал теоретическую модель для абстрактных машин, теперь называемых его именем. Они могли бы выполнять вычисления путем манипулирования символами на ленте. Это также относится к другим математическим действиям, найденным в теоретической информатике, таким как квантовые вероятностные вычисления. Функция из тезиса Черча только впоследствии была обоснована с применением машины Тьюринга. Изначально они опирались на λ-исчисления.

Вычислимость функции

При подходящем кодировании натуральных чисел в виде последовательностей символов функция на натуральных чисел называется вычислимой по версии Тьюринга, если абстрактная машина находила нужный алгоритм и выводила эту функцию на ленте. Подобное устройство, которого не существовало в 1930-х, в будущем стали считать компьютером. Абстрактная машина Тьюринга и тезис Черча стали предвестниками эры развития вычислительных устройств. Было доказано, что формально определенные обоими учеными классы функций совпадают. Потому в результате оба утверждения объединили в одно. Вычислительные функции и тезис Черча также оказали сильное влияние на концепцию вычислимости. А также стали важным подспорьем для математической логики и теории доказательств.

Обоснование и проблемы метода

Существуют противоречивые точки зрения на тезис. Многочисленные доказательства были собраны для «рабочей гипотезы», предложенной Черчем и Тьюрингом в 1936 году. Но все известные методы или операции для выявления новых эффективно вычисляемых функций из заданных были связаны с методами построения машин, которых тогда не существовало. Для того чтобы доказать тезис Черча-Тьюринга, исходят из того факта, что каждая реалистическая модель вычислений эквивалентна.

Из-за разнообразия различных анализов, как правило, это считается особенно убедительным доказательством. Все попытки более точно определить интуитивное понятия эффективно вычисляемой функции оказались эквивалентными. Каждый предложенный анализ доказал, что он выделяет один и тот же класс функций, а именно те, которые вычислимы машинами Тьюринга. Но некоторые вычислительные модели оказались более эффективны с точки зрения временных затрат и использования памяти для разных задач. Позднее отмечалось, что основные понятия рекурсивных функций и тезис Черча являются, скорее, гипотетическими.

«Тезис М»

Важно различать тезис Тьюринга и утверждение о том, что все, что может быть рассчитано вычислительным устройством, может быть рассчитано его машиной. У второго варианта есть свое собственное определение. Ганди называет второе предложение «Тезисом М». Он звучит так: «Независимо от того, что может быть вычислено устройством, можно вычислить машиной Тьюринга». В узком понимании тезиса, он является эмпирическим предложением, истинностное значение которого неизвестно. Тезис Тьюринга и "Тезис М" иногда путают. Версия второго в широком смысле неверна. Были описаны различные условные машины, которые могут вычислять функции, не являющиеся вычислимыми по Тьюрингу. Важно обратить внимание, что первый тезис не влечет за собой второй, но согласуется с его ложностью.

Обратное имплицирование тезиса

В теории вычислимости тезис Черча используется как описание понятия вычислимости классом общерекурсивных функций. Американский Стивен Клини дал более общую формулировку. Он назвал частично рекурсивными все частичные функции, вычислимые при помощи алгоритмов.

Обратное имплицирование обычно называется обратным тезисом Черча. Он заключается в том, что каждая рекурсивная функция положительных целых чисел эффективно вычисляется. В узком смысле тезис просто обозначает такую возможность. А в широком - абстрагируется от вопроса о том, может ли существовать в нем эта условная машина.

Квантовые компьютеры

Понятия вычислимых функций и тезис Черча стали важным открытием для математики, теории машин и многих других наук. Но техника сильно изменилась и продолжает совершенствоваться. Предполагается, что квантовые компьютеры могут выполнять множество общих задач с меньшими временными затратами по сравнению с современными. Но остаются такие вопросы, как проблема с остановкой. На нее квантовый компьютер не может ответить. И, согласно тезису Черча-Тьюринга, никакое другое вычислительное устройство тоже.