Необычный способ вычислить площадь равностороннего треугольника: используем только длину его стороны

Равносторонний треугольник обладает уникальным набором свойств. Все его стороны и углы равны, а высоты совпадают с биссектрисами. Это позволяет вывести простую формулу для нахождения его площади через длину стороны, не прибегая к тригонометрии. Давайте разберемся с ее выводом и опробуем на примере.

Что такое равносторонний треугольник и какие у него особенности

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все три стороны имеют одинаковую длину a. Также равны все три внутренних угла – по 60 градусов каждый.

В равностороннем треугольнике высота h совпадает с биссектрисой и медианой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В одном из них высота h является катетом, а сторона a – гипотенузой.

Из тригонометрии известно, что sin(60°) = √3/2. Поэтому в прямоугольном треугольнике со сторонами a и h справедливо соотношение: sin(60°) = h/a Отсюда: h = a * √3/2

Стандартная формула для нахождения площади треугольника через сторону и высоту к ней имеет вид:

S = (ah) / 2

Подставляя сюда значение h, получаем формулу для вычисления площади равностороннего треугольника:

S = (a * a * √3) / 4

Необычный способ вычислить площадь равностороннего треугольника

Оказывается, площадь равностороннего треугольника можно найти, используя всего один параметр – длину его стороны. Не нужно знать ни высоту, ни радиусы вписанной или описанной окружностей.

Давайте разберем этот необычный способ.

1. Берем равносторонний треугольник со стороной длиной a.
2. Строим квадрат со стороной a. Его площадь равна Скв = a2.
3. Делим этот квадрат диагоналями на 4 равных треугольника.
4. Площадь одного такого треугольника равна Стр = Скв / 4 = a2 / 4.
5. Но этот треугольник как раз и является исходным равносторонним треугольником.
6. Значит, площадь равностороннего треугольника со стороной a равна S = a2/4.

Подтверждение формулы на числовом примере

Давайте проверим работу полученной формулы на конкретной задаче. Пусть дан равносторонний треугольник со стороной 5 см. Строим квадрат со стороной 5 см. Его площадь равна 52 = 25 см2. Разделяем этот квадрат диагоналями. Получаем 4 треугольника площадью 25/4 = 6,25 см2 каждый. Это и есть площадь исходного треугольника. Результат совпал с вычисленным по стандартной формуле.

Плюсы и минусы метода

Достоинством необычного способа является его простота. Нет необходимости вспоминать и применять тригонометрические формулы. Также он наглядно демонстрирует вывод формулы без использования высоты.

К минусам можно отнести то, что метод применим только для равносторонних треугольников. Кроме того, он не дает представления о связи стороны и высоты через тригонометрические функции.

Сравнение со стандартными способами

Хотя необычный метод дает тот же результат, что и классические подходы через формулы с высотой, он имеет свои особенности применения. Рассмотрим его плюсы и минусы по сравнению со стандартными способами.

Несмотря на кажущуюся узкую применимость для равносторонних треугольников, необычный метод может быть полезен и в других случаях. Метод позволяет легко оценить размеры реальных объектов приближенной формы правильного треугольника, например деталей или структур в технике.