Что такое тангенциальное ускорение? Формулы, пример задачи
Движение - это одно из важных свойств вещества в нашей Вселенной. Действительно, даже при абсолютном нуле температур перемещение частиц материи не прекращается полностью. В физике движение описывается рядом параметров, основным из которых является ускорение. В данной статье мы раскроем подробнее вопрос касательно того, что представляет собой ускорение тангенциальное и как его рассчитывать.
Ускорение в физике
Под ускорением понимают быстроту, с которой изменяется скорость тела во время его перемещения. Математически это определение записывают так:
a¯ = d v¯/ d t
Это кинематическое определение ускорения. Из формулы видно, что вычисляется оно в метрах в квадратную секунду (м/с2). Ускорение - это векторная характеристика. Направление его ничего общего с направлением скорости не имеет. Направлено ускорение в сторону изменения скорости. Очевидно, что в случае равномерного движения по прямой линии не существует никакого изменения скорости, поэтому ускорение равно нулю.
Если говорить об ускорении как о величине динамики, то следует вспомнить закон Ньютона:
F¯ = m × a¯ =>
a¯ = F¯ / m
Причиной возникновения величины a¯ является действующая на тело сила F¯. Поскольку масса m - это величина скалярная, то ускорение направлено в сторону действия силы.
Траектория движения и полное ускорение
Говоря об ускорении, скорости и пройденном пути, следует не забывать еще об одной важной характеристике любого движения - траектории. Под ней понимают воображаемую линию, по которой движется изучаемое тело. В общем случае она может быть кривой или прямой. Самой распространенной кривой траекторией является окружность.
Предположим, что тело движется по кривой траектории. При этом его скорость изменяется по некоторому закону v = v (t). В любой точке траектории скорость направлена по касательной к ней. Выразить скорость можно как произведение ее модуля v на элементарный вектор u¯. Тогда для ускорения получим:
v¯ = v × u¯;
a¯ = d v¯/ d t = d (v × u¯) / d t
Применяя правило вычисления производной от произведения функций, получаем:
a¯ = d (v × u¯) / d t = d v / d t × u¯ + v × d u¯ / d t
Таким образом, полное ускорение a¯ при движении по кривой траектории раскладывается на две составляющие. В данной статье мы рассмотрим подробно лишь первое слагаемое, которое называется тангенциальным ускорением точки. Что касается второго слагаемого, то лишь скажем, что оно называется нормальным ускорением и направлено к центру кривизны.
Тангенциальное ускорение
Обозначим эту компоненту полного ускорения символом at¯. Запишем еще раз формулу тангенциального ускорения:
at¯ = d v / d t × u¯
О чем говорит это равенство? Во-первых, компонента at¯ характеризует изменение абсолютного значения скорости, не принимая во внимание ее направление. Так, в процессе движения вектор скорости может быть постоянным (прямолинейным) или же постоянно изменяться (криволинейным), но если при этом модуль скорости остается неизменным, то at¯ будет равно нулю.
Во-вторых, тангенциальное ускорение направлено точно так же, как вектор скорости. Этот факт подтверждается наличием в записанной выше формуле множителя в виде элементарного вектора u¯. Так как u¯ направлен по касательной к траектории, то компоненту at¯ часто называют касательным ускорением.
Исходя из определения касательного ускорения, можно сделать вывод: величины a¯ и at¯ совпадают всегда в случае прямолинейного перемещения тел.
Касательное и угловое ускорение при движении по окружности
Выше мы выяснили, что движение по любой криволинейной траектории приводит к появлению двух компонент ускорения. Одним из видов движения по кривой линии является вращение тел и материальных точек по окружности. Такой тип перемещения удобно описывать угловыми характеристиками, такими как угловое ускорение, угловая скорость и угол поворота.
Под угловым ускорением α понимают величину изменения скорости угловой ω:
α = d ω / d t
Угловое ускорение приводит к увеличению частоты вращения. Очевидно, что при этом возрастает линейная скорость каждой точки, которая участвует во вращении. Поэтому должно существовать выражение, которое связывает угловое и тангенциальное ускорение. Не будем вдаваться в подробности вывода этого выражения, а приведем его сразу:
at = α × r
Величины at и α прямо пропорциональны друг другу. Кроме того, at увеличивается с возрастанием дистанции r от оси вращения до рассматриваемой точки. Именно поэтому при вращении удобно использовать α, а не at (α от радиуса вращения r не зависит).
Пример задачи
Известно, что материальная точка вращается вокруг оси радиусом 0,5 метра. Ее угловая скорость при этом изменяется по следующему закону:
ω = 4 × t + t2 + 3
Необходимо определить, с каким тангенциальным ускорением точка будет вращаться в момент времени 3,5 секунды.
Для решения данной задачи следует воспользоваться сначала формулой для углового ускорения. Имеем:
α = d ω / d t = 2 × t + 4
Теперь следует применить равенство, которое связывает величины at и α, получаем:
at = α × r = t + 2
При записи последнего выражения мы подставили значение r = 0,5 м из условия. В итоге мы получили формулу, согласно которой тангенциальное ускорение зависит от времени. Такое движение по окружности не является равноускоренным. Для получения ответа на задачу осталось подставить известный момент времени. Получаем ответ: at = 5,5 м/с2.