Пуассона скобки: основные положения, свойства и функции

Скобки Пуассона - это важнейший математический аппарат, позволяющий глубже изучить движение механических систем. С их помощью можно найти дополнительные интегралы движения и упростить решение многих задач аналитической механики.

1. Определение скобок Пуассона

Скобки Пуассона для двух произвольных динамических величин u и v определяются следующим дифференциальным выражением:

(u, v) = ∑i=1n (∂u/∂qi ∂v/∂pi - ∂u/∂pi ∂v/∂qi)

Здесь q_i и p_i - канонические переменные системы (обобщенные координаты и импульсы), n - число степеней свободы. Проще всего вычисляются элементарные скобки Пуассона:

• {q_j, q_k} = 0
• {p_j, p_k} = 0
• {p_j, q_k} = δ_jk

Скобки Пуассона тесно связаны со скобками Якоби и удовлетворяют одноименному тождеству.

2. Основные свойства скобок Пуассона

Рассмотрим наиболее важные свойства этих скобок:

1. Антисимметричность: (u,v) = -(v,u)
2. Линейность относительно каждого аргумента
3. Распределительность: вынесение констант и произведений за знак скобки

Скобки Пуассона инвариантны относительно канонических преобразований переменных. Для них выполняется тождество Якоби с участием трех функций u, v и w.

Докажем последнее утверждение. Пусть даны три произвольные функции u, v и w от канонических переменных. Тогда имеет место следующая формула:

(u, (v, w)) + (v, (w, u)) + (w, (u, v)) = 0

Это тождество лежит в основе многих важных свойств скобок Пуассона.

3. Вывод уравнений движения

С помощью скобок Пуассона можно получить уравнения движения гамильтоновой системы. Производная от произвольной динамической величины f записывается в виде

df/dt = ∂f/∂t + {f, H}

где H - гамильтониан системы. А для канонической переменной q_j имеем конкретное выражение

dqj/dt = ∂H/∂pj

Это и есть уравнения Гамильтона. Таким образом, скобки Пуассона позволяют компактно записать важнейшие уравнения движения.

4. Теорема Пуассона

Еще одно фундаментальное свойство скобок Пуассона - так называемая теорема Пуассона. Она утверждает, что скобка Пуассона двух интегралов движения является тоже интегралом движения.

Докажем этот результат. Пусть f и g - интегралы движения, тогда {f, H} = 0 и {g, H} = 0. Подставляя это в тождество Якоби и проводя преобразования, получаем:

{f, g} = const

Значит, скобка Пуассона {f, g} не зависит явно от времени, то есть является интегралом движения.

5. Применение теоремы Пуассона

Теорема Пуассона часто используется для нахождения новых интегралов движения и упрощения решения задач механики. Рассмотрим такой пример. Пусть известны интегралы E и P_z, тогда их скобка {E, P_z} будет новым интегралом движения системы.

6. Связь скобок Пуассона и симметрий

Еще один важный момент - скобки Пуассона тесно связаны с симметриями гамильтоновой системы. Эта связь позволяет глубже понять природу движения.

Конкретный пример - свободная частица в трехмерном пространстве. Ее движение инвариантно относительно группы пространственных преобразований. Скобки Пуассона между соответствующими интегралами движения отражают алгебру этой группы.

7. Скобки Пуассона и квантовая механика

В квантовой механике роль классических скобок Пуассона играют квантовые скобки Пуассона, определяемые через коммутаторы операторов. Они обладают аналогичными свойствами и позволяют обобщить классическую теорию.

8. Квантовые скобки Пуассона

В квантовой механике вместо классических динамических величин рассматриваются операторы. Для них вводятся квантовые аналоги скобок Пуассона - коммутаторы операторов:

[A, B] = AB - BA

Квантовые скобки Пуассона обладают теми же математическими свойствами, что и классические:

• Антисимметричность: [A, B] = -[B, A]
• Линейность относительно операторов
• Распределительность: вынесение множителей за коммутатор

Для них также справедливо квантовое тождество Якоби. Операторы, соответствующие физическим величинам, удовлетворяют аналогичным соотношениям.

9. Квантовая теорема Пуассона

Существует квантовый аналог теоремы Пуассона: коммутатор двух интегралов движения является тоже интегралом движения. Это важное утверждение позволяет находить новые физические сохраняющиеся величины в квантовых системах.

10. Применение квантовых скобок Пуассона

Квантовые скобки Пуассона широко используются в современной квантовой механике и квантовой теории поля. Они позволяют:

• Компактно записывать уравнения движения
• Выявлять скрытые симметрии систем
• Находить новые интегралы движения

Таким образом, скобки Пуассона являются универсальным математическим аппаратом, применимым как в классической, так и квантовой теории.

11. Применение скобок Пуассона в аналитической механике

Рассмотрим некоторые конкретные примеры использования скобок Пуассона в классической аналитической механике при решении задач.

Во-первых, с помощью скобок Пуассона можно проверить, является ли заданное преобразование координат каноническим. Для этого достаточно вычислить матрицы вида (Q,P), (P,P) и (Q,Q) и проверить выполнение соответствующих критериев.

Во-вторых, скобки Пуассона позволяют исследовать интегрируемость гамильтоновых систем, то есть наличие достаточного числа интегралов движения. Это делается с помощью теоремы Пуассона.

12. Нахождение интегралов движения

Еще одно важнейшее применение скобок Пуассона - нахождение дополнительных интегралов движения в механических системах. Уже упомянутая теорема Пуассона позволяет строить новые интегралы.

Другой подход - анализ симметрий системы и нахождение интегралов, соответствующих генераторам преобразований симметрии. Здесь также используются скобки Пуассона.

13. Решение конкретных задач механики

И last but not least - скобки Пуассона незаменимы при решении конкретных задач аналитической механики. Зная интегралы движения, с их помощью можно свести задачу к квадратурам и найти траектории.

Рассмотрим в качестве примера движение частицы в одномерном потенциале. Запишем уравнение для координаты...

14. Пример: частица в одномерном потенциале

Рассмотрим конкретный пример - движение частицы в одномерном потенциальном поле U(x). Запишем гамильтониан:

H = p²/2m + U(x)

Здесь p - импульс частицы, m - ее масса. Уравнение для координаты имеет вид:

ẋ = {x, H} = p/m

Аналогично для импульса:

ṗ = {p, H} = -U'(x)

15. Построение траекторий

Интегрируя эти уравнения, можно найти траекторию частицы x(t). Однако в общем случае решение возможно только численно или приближенно.

Чтобы получить точный аналитический результат, нужно воспользоваться дополнительным интегралом движения. Его можно найти методом скобок Пуассона.

16. Дополнительный интеграл движения

Рассмотрим функцию G = p²/2m - U(x) и вычислим скобку Пуассона {H, G}. Используя свойства скобок, несложно показать, что {H, G} = 0.

Значит, G = const - это дополнительный интеграл движения, который позволяет аналитически решить задачу.