Определение понятия "трапеция": что это такое, виды и свойства
Трапеция - одна из наиболее распространенных геометрических фигур, которая широко используется в строительстве, архитектуре, дизайне интерьеров и ландшафта.
Определение трапеции
Трапеция - это выпуклый четырехугольник, у которого ровно две стороны параллельны.
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны [1].
Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.
- Основание 1 (AD)
- Основание 2 (BC)
- Боковая сторона 1 (AB)
- Боковая сторона 2 (CD)
Элементы трапеции:
| Стороны | Основания и боковые стороны |
| Углы | Углы при вершинах А,В,С,D |
| Диагонали | Отрезки AC и BD |
Высотой трапеции называется перпендикуляр, опущенный из точки одного основания на другое основание.
Виды трапеций:
- Равнобедренная - боковые стороны равны
- Прямоугольная - есть прямой угол при боковой стороне
- Разносторонняя - все стороны разной длины
Свойства произвольной трапеции
Рассмотрим основные свойства, которые выполняются для любой трапеции:
- Сумма углов при любой боковой стороне равна 180°
- Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме
- Диагонали делят трапецию на 4 треугольника с равными площадями
Определим среднюю линию трапеции. Это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции:
| AE = EB | CF = FD |
| EF - средняя линия |
Теперь рассмотрим формулу для вычисления площади трапеции. Если известны:
- a и b - длины оснований
- h - высота трапеции
То площадь равна:
S = (a + b) * h / 2
Например, высота трапеции равна 12 см, основания имеют длины 5 и 11 см. Подставляем значения в формулу:
S = (5 + 11) * 12 / 2 = 8 * 12 = 96 (см2)
Итак, мы узнали определение трапеции, рассмотрели основные элементы и виды, вывели формулу площади. В следующих частях статьи более подробно изучим свойства разных видов трапеций и их применение на практике.
Свойства равнобедренной трапеции
Рассмотрим свойства трапеции, у которой боковые стороны равны. Такая трапеция называется равнобедренной.
В равнобедренной трапеции выполняются следующие утверждения:
- Углы при каждом основании равны
- Определение длин диагоналей равно
Также справедлива теорема:
Если трапецию можно вписать в окружность, то эта трапеция является равнобедренной
Признаки равнобедренной трапеции
Чтобы доказать, что данная трапеция является равнобедренной, можно использовать следующие критерии:
- Проверить равенство боковых сторон
- Доказать равенство углов при одном из оснований
- Доказать равенство длин диагоналей
Высота равнобедренной трапеции
Рассмотрим свойства высоты в равнобедренной трапеции. Пусть высота опущена из вершины тупого угла на основание.
Тогда эта высота делит основание на два отрезка:
- Больший отрезок равен полусумме оснований
- Меньший отрезок равен полуразности оснований
Определение средней линии для равнобедренной трапеции
Для равнобедренной трапеции справедливо общее определение средней линии:
Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна полусумме оснований
Однако в равнобедренной трапеции можно упростить вычисления, используя равенство боковых сторон и углов.
Использование равнобедренных трапеций в строительстве
Благодаря своим свойствам, равнобедренные трапеции часто применяются как конструктивные элементы различных сооружений и конструкций.
Например, в каркасных домах равнобедренные трапеции используются в качестве:
- Стропильных ферм
- Элементов рамных конструкций
- Усилителей узлов сопряжения балок и колонн
Преимущества равнобедренных трапеций:
- Высокая несущая способность
- Устойчивость под нагрузкой
- Технологичность изготовления
Прямоугольные трапеции в архитектуре
В архитектурных конструкциях часто используются прямоугольные трапеции - трапеции, у которых есть прямой угол.
Примеры применения:
- Оконные и дверные проемы
- Декоративные элементы фасадов
- Усилители в балочных перекрытиях
Дизайн интерьера с использованием трапеций
В дизайне интерьеров трапеции могут стать оригинальным решением, например:
- Мебель и предметы интерьера трапециевидной формы
- Трапециевидные ниши, потолки, арки
Трапеции придают интерьеру динамику, выразительность, необычный вид.