Знаете ли вы, что при пересечении параллельных прямых образуются углы со специальными свойствами? Эти удивительные углы - ключ к решению многих задач на построение и вычисление.
Вертикальные и смежные углы
При пересечении двух прямых образуются вертикальные углы - углы с общей вершиной и общим лучом. Например, углы ∠1 и ∠3 на рисунке ниже.
Вертикальные углы всегда равны друг другу. Это можно доказать из аксиом геометрии.
Теорема о вертикальных углах: вертикальные углы равны.
Также при пересечении двух прямых образуются смежные углы - углы с общей вершиной и общей стороной. На рисунке - это углы ∠2 и ∠4.
Смежные углы всегда дополняют друг друга до 180°:
∠2 + ∠4 = 180°
Это свойство смежных углов часто используется при решении задач на вычисление углов. Например, если один смежный угол равен 35°, то второй смежный к нему угол будет равен 145°.
Односторонние и соответственные углы
Углы при параллельных прямых - если две прямые параллельны, а третья прямая пересекает их (является секущей), то образуются особые углы.
- Углы, лежащие по одну сторону от секущей, называются односторонними. На рисунке это ∠1 и ∠2.
- Углы, расположенные между параллельными прямыми по разные стороны от секущей, называются соответственными. Например, ∠2 и ∠4.
Для этих углов справедливы следующие утверждения:
- Теорема об односторонних углах: Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна 180°.
- Теорема о соответственных углах: Соответственные углы при параллельных прямых равны.
Эти теоремы часто применяются на практике. Например, для вычисления неизвестного угла:
Зная, что ∠1 = 80° и ∠1 с ∠3 - пара соответственных углов, находим: ∠3 = 80°. А ∠2 = 100°, поскольку сумма ∠1 и ∠2 как односторонних углов равна 180°.
Таким образом, зная свойства односторонних и соответственных углов, можно решать различные задачи на вычисление и доказательство в геометрии.
Накрест лежащие углы
Углы при параллельных прямых. Еще один вид углов, образующихся при пересечении параллельных прямых секущей - это накрест лежащие углы.
Накрест лежащими называются углы, лежащие по разные стороны от секущей. На рисунке - это углы ∠1 и ∠3. Для них справедлива теорема:
Теорема о накрест лежащих углах: Накрест лежащие углы при параллельных прямыхравны.
Это свойство часто используется при решении задач на доказательство. Например, если известно, что накрест лежащие углы равны, то это значит, что прямые, их образующие, параллельны.
Обратные теоремы
Для теорем о параллельных прямых существуют также обратные теоремы. Например, если известно, что прямые параллельны, то из этого следует равенство накрест лежащих или соответственных углов.
Такие утверждения тоже полезно знать и уметь доказывать при решении задач. Вот пример одной из обратных теорем:
Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Применение теорем о параллельных прямых
Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение изученных теорем о параллельных прямых для решения задач.
В первом случае по теореме об односторонних углах находим угол DCB = 80°.
Во втором случае, зная, что BC || DE и угол CBF = 105°, по теореме о соответственных углах получаем ∠EBD = 105°.
А в третьем примере, из равенства ∠А = ∠С следует (по теореме о накрест лежащих углах), что прямые MN и DC параллельны.
Рекомендации по применению теорем
Итак, мы рассмотрели разные виды углов при параллельных прямых и теоремы об их свойствах. Вот несколько рекомендаций по применению этих знаний:
- Внимательно изучите условия теорем - что дано и что требуется доказать или найти.
- При решении задач всегда анализируйте, какие углы на чертеже являются соответственными, односторонними и т.д.
- Обращайте внимание на обратные теоремы - иногда они упрощают решение.
- Тренируйтесь в применении теорем на практике, решая как можно больше задач.
Используя эти советы, вы хорошо овладеете данной темой.
