Теорема о трех перпендикулярах: интересные факты и применение
Теорема о трех перпендикулярах - одно из фундаментальных утверждений геометрии, которое вызывает интерес у ученых и инженеров и по сей день. А знаете ли вы, что за невероятную точность при строительстве египетских пирамид отвечала именно эта теорема? Давайте разберемся, как три взаимных перпендикуляра повлияли на развитие науки и техники.
История открытия теоремы о трех перпендикулярах
Теорема о трех перпендикулярах была впервые сформулирована в 1683 году нидерландским математиком Франсом ван Схутеном в его книге "Объемы, площади и центры тяжести твердых тел". До этого математики использовали свойства взаимных перпендикуляров при решении задач, но никто не систематизировал эти знания в виде теоремы.
Франс ван Схутен родился в городе Лейдене в 1643 году. Он с детства увлекался математикой и в 22 года защитил диссертацию в Лейденском университете. Позже Схутен преподавал математику в этом университете и даже был другом великого Исаака Ньютона.
Название "теорема о трех перпендикулярах" появилось позднее из-за того, что в ней фигурируют три взаимных перпендикуляра: перпендикуляр к плоскости, перпендикуляр к проекции наклонной и сама наклонная. Это удачное название прижилось в научной литературе.
Теорема оказалась очень важной, так как позволяла просто и наглядно устанавливать перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. Именно благодаря ей геометрия вышла на качественно новый уровень развития.
Формулировка и доказательство теоремы
Итак, теперь давайте вспомним, как звучит сама теорема о трех перпендикулярах :
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.
На рисунке ниже наглядно показаны все три перпендикуляра:
Теперь давайте докажем теорему о трех перпендикулярах . Возьмем произвольную точку М наклонной а и построим плоскость β, проходящую через а и перпендикуляр АН. Затем проведем в этой плоскости прямую МК параллельно АН. Так как АН перпендикулярна плоскости α, то и MK будет перпендикулярна ей. Поэтому MK перпендикулярна любой прямой плоскости α, в том числе прямой m. Но в плоскости β прямая MK перпендикулярна прямой а, по определению параллельных прямых. Значит, прямая m тоже перпендикулярна а.
Для доказательства использовались следующие определения и теоремы:
- Определение параллельных прямых
- Свойство прямой, перпендикулярной одной из двух параллельных плоскостей
- Признак перпендикулярности двух прямых, лежащих в одной плоскости
Также справедлива обратная теорема о трех перпендикулярах : если прямая плоскости перпендикулярна наклонной прямой, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной на данную плоскость. Доказательство аналогичное.
Итак, мы разобрали одну из важнейших теорем стереометрии. Теперь поговорим, где она применяется на практике.
Применение теоремы на практике
На самом деле теорема о трех перпендикулярах широко используется в самых разных областях:
- В строительстве для расчетов несущей способности фундаментов, опор мостов и других важных конструкций.
- В архитектуре и дизайне помещений для построения перспективы.
- При проектировании деталей машин, чтобы определить взаимное расположение отверстий, пазов и других элементов.
- В компьютерной графике для настройки освещения, теней, отражений.
Например, посмотрите, как с помощью теоремы можно легко доказать, что диагональ АС куба перпендикулярна грани BD:
|
А вот еще один численный пример из строительной практики. Допустим, нужно установить опору эстакады под углом 60° к горизонту. Высота опоры 12 метров. Какова должна быть глубина заложения фундамента? Используем теорему о трех перпендикулярах :
- Опускаем перпендикуляр h на горизонтальную плоскость
- По теореме он перпендикулярен и наклонной стойке опоры
- Из треугольника находим глубину заложения: h=12/sin(60°)=12/0.866=14 м
Как видите, теорема действительно очень полезна на практике. А теперь давайте перейдем к некоторым любопытным фактам о ней.
Интересные факты о теореме
За свою долгую историю теорема о трех перпендикулярах породила множество увлекательных фактов. Например, эта теорема не раз упоминается в художественной литературе.
В романе "Незримая сторона Луны" Артура Кларка главный герой, ученый Кейдмен, как раз занимается доказательством теоремы в трехмерном пространстве. А в "Алисе в Зазеркалье" Льюиса Кэролла Алиса попадает в мир, где действуют странные законы геометрии. Некоторые литературоведы считают, что это отсылка к неевклидовым геометриям, опровергающим теорему о трех перпендикулярах.
Легенды о теореме
Существует легенда, будто теорема о трех перпендикулярах помогла древним египтянам с невероятной точностью рассчитывать углы пирамид при строительстве. Хотя на самом деле во времена пирамид теорема еще не была открыта.
Также ходят слухи, что теорему 300 лет назад якобы доказывал сам Исаак Ньютон. Но достоверных свидетельств этому пока не найдено.
Забавные задачи с теоремой
Существуют занимательные математические задачи с использованием теоремы о трех перпендикулярах. Например, как-то раз знаменитый физик Ричард Фейнман поручил студентам доказать, что в любом треугольнике сумма квадратов двух сторон больше квадрата третьей. Хитроумные студенты свели это неравенство к теореме о трех перпендикулярах!
Теорема в школьном курсе геометрии
Как правило, учителя объясняют теорему о трех перпендикулярах в 8-9 классах на уроках геометрии. Сначала на примерах показывают, как строить перпендикуляр к плоскости. Затем подробно разбирают формулировку теоремы. И уже после этого переходят к доказательству и решению задач.
У многих школьников теорема вызывает затруднения из-за слишком абстрактной формулировки. Поэтому учителя стараются объяснять ее предельно наглядно, с построением большого числа чертежей.
Применение теоремы в различных областях
Давайте теперь более подробно разберем, где еще успешно используется теорема о трех перпендикулярах.
- В строительстве. В строительстве теорема применяется при возведении каркасных высотных зданий. С ее помощью рассчитывают оптимальный наклон колонн и ферм для обеспечения максимальной устойчивости сооружения.
- В машиностроении. В машиностроении теорема используется при проектировании различных узлов и механизмов. Она позволяет точно выставлять нужные углы между осями валов, зубчатых колес и других деталей.
- В компьютерной графике. Современные графические 3D-редакторы, такие как Blender, для реалистичной визуализации сцен широко используют теорему о трех перпендикулярах. Она лежит в основе расчетов освещения, теней, отражений и преломлений.
Значение теоремы в наши дни
Итак, мы вкратце разобрали историю открытия, формулировку, доказательство и некоторые области применения теоремы о трех перпендикулярах. Как видно, она и сегодня остается по-настоящему фундаментальной для всей геометрии.
Без этой теоремы не могли бы существовать современные инженерные расчеты конструкций, технологии 3D-моделирования, да и вообще пространственное мышление. Так что значение теоремы о трех перпендикулярах трудно переоценить!