Правило сравнения натуральных чисел
Сравнение натуральных чисел - основополагающий навык при изучении математики. Давайте разберем, что представляют собой натуральные числа, как устроен натуральный ряд и как правильно сравнивать натуральные числа, фиксируя результат сравнения с помощью знаков >, < и =.
В данной статье подробно разбираются правила сравнения натуральных чисел. Рассматривается, что представляют собой натуральные числа и натуральный ряд, как сравнивать натуральные числа по количеству разрядов и методом поразрядного сравнения. Приводятся знаки сравнения чисел, свойства неравенств. Даются практические рекомендации по записи и сравнению натуральных чисел, разбираются типичные ошибки.
1. Основные понятия
Натуральные числа - это числа, используемые для счета и измерения количества объектов. К натуральным числам относятся числа 0, 1, 2, 3 и так далее.
Натуральный ряд представляет собой последовательность натуральных чисел, записанных в порядке возрастания.
Натуральный ряд обладает двумя важными свойствами:
- Не содержит наибольшего элемента
- Каждый элемент, кроме первого, имеет непосредственного предшественника
2. Сравнение натуральных чисел по количеству разрядов
При сравнении натуральных чисел в первую очередь смотрим на количество разрядов в числах. Например:
| 45 | 190 |
| 2 разряда | 3 разряда |
Так как у числа 190 разрядов больше, чем у 45, то 190 > 45.
Это же правило работает и при сравнении, например, 222 и 20222: число 20222 больше числа 222, так как имеет 5 разрядов, в то время как 222 — всего 3.
3. Поразрядное сравнение натуральных чисел
Если сравниваемые натуральные числа имеют одинаковое количество разрядов, то применяется поразрядное сравнение. При этом сравнение проводится поочередно для каждого разряда чисел, начиная с старшего (самого левого):
- Сравниваем разряды сотен тысяч
- Затем — десятки тысяч
- Затем — тысячи
- и т.д.
Если в каком-то разряде цифра одного числа оказывается больше цифры другого, то и все число с этой бóльшей цифрой тоже больше.
Например, сравним числа 367 и 371. У обоих чисел 3 разряда. Цифры сотен (7 и 1) при сравнении дают, что 7 > 1. Значит, 367 > 371.
4. Знаки сравнения натуральных чисел
Для записи результатов сравнения натуральных чисел используются следующие знаки:
- > — больше
- < — меньше
- = — равно
Если число а больше числа b, то пишут: а > b и говорят: "а больше b"
При сравнении 367 и 371 получаем:
367 > 371
Читается: "Триста шестьдесят семь больше трехсот семидесяти одного".
5. Свойства неравенств
При работе с неравенствами вида а > b или а < b нужно помнить следующие свойства:
- Если а > b и b > c, то а > c
- Если к обеим частям неравенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, неравенство не изменится
| а > b | а + 5 > b + 5 |
| a < b | a - 3 < b - 3 |
Эти свойства позволяют упростить процесс сравнения натуральных чисел.
В уже рассмотренных примерах сравнения натуральных чисел были задействованы числа, не превышающие 999. Давайте разберем более сложные примеры, включающие числа с большим количеством разрядов.
6. Сравнение многоразрядных натуральных чисел
Если требуется сравнить числа с большим количеством разрядов, то вначале применяется поразрядное сравнение разрядов, начиная со старшего. Например:
12345 12336
Числа имеют одинаковое количество разрядов. Начинаем с самого старшего разряда - десятков тысяч:
- Разряд десятков тысяч - у обоих чисел цифра 1, продолжаем
- Разряд тысяч - у обоих чисел цифра 2, продолжаем
- Разряд сотен - разные цифры. Цифра 3 больше цифры 2, значит 12336 > 12345
7. Несколько примеров сравнения натуральных чисел в математике 5 класс
Применение правила сравнения натуральных чисел по количеству разрядов и методом поразрядного сравнения позволяет решать различные примеры. Рассмотрим несколько случаев из курса математики 5 класс:
20481 11354
Числа имеют разное количество разрядов. 20481 (5 разрядов) > 11354 (5 разрядов)
18765 18765
Поразрядное сравнение одинаковых чисел. 18765 = 18765
987724 98774
987724 (6 разрядов) > 98774 (5 разрядов)
8. Виды неравенств. Применение свойств неравенств
Существуют строгие неравенства а > b или а < b, а также нестрогие неравенства а ≥ b или а ≤ b. При работе с неравенствами применяются свойства перечисленные ранее.
9. Практические рекомендации по сравнению натуральных чисел
Для упрощения процесса сравнения натуральных чисел рекомендуется:
- Всегда начинать с определения количества разрядов в каждом числе
- Если разрядов одинаково, переходить к поразрядному сравнению
10. Типичные ошибки при сравнении натуральных чисел
Несмотря на простые правила, при сравнении натуральных чисел часто допускаются ошибки. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
- Неправильное определение количества разрядов в числе
- Неверный порядок поразрядного сравнения (не слева направо)
- Неучет нулей в начале числа при поразрядном сравнении
Чтобы избежать подобных ошибок, рекомендуется:
- Внимательно считать количество разрядов в каждом числе
- При поразрядном сравнении следовать порядку - от старшего разряда к младшему
- Помнить, что нули в начале числа не влияют на его величину
11. Сравнение натуральных чисел с использованием числового луча
Для наглядности сравнения натуральных чисел можно использовать числовой луч. Это прямая, на которой отмечаются числа в порядке их возрастания слева направо.
Например, для сравнения чисел 367 и 371 их можно разместить на числовом луче:
0 ... 300 ... 363 ... 367 ... 371 ... 400
Видно, что 371 находится правее на числовом луче, значит, 371 > 367.
12. Сравнение натуральных чисел в реальных задачах
Умение сравнивать натуральные числа применимо при решении задач из повседневной жизни. Например, для сравнения количества товара в магазине в разные дни, количества выигранных очков в играх командами или спортсменами и т.п.
13. Различные формы записи результатов сравнения натуральных чисел
Помимо знаков >, < и =, существуют и другие способы записи результатов сравнения натуральных чисел.
Двойные неравенства
Если имеется три числа a, b и c, для которых верно неравенство: a < b < c, то результат их сравнения можно представить в виде двойного неравенства:
a < b < c
Читается как: "a меньше b, b меньше c".
Нестрогие неравенства
Вместо строгого неравенства a > b можно записать нестрогое неравенство вида:
a ≥ b
Оно означает, что a больше b или равно ему.
15. Проверка правильности сравнения натуральных чисел
Чтобы удостовериться в правильном сравнении натуральных чисел, можно использовать следующие приемы:
- Повторное сравнение теми же способами
- Сравнение с использованием числового луча
- Проверка на калькуляторе
Это позволит минимизировать вероятность ошибки.
16. Сравнение натуральных чисел при решении текстовых задач
В задачах на сюжетную ситуацию зачастую требуется произвести сравнение каких-либо числовых значений, чтобы сделать вывод о наиболее выгодном предложении, наибольшем успехе в соревновании и т.д.
Для этого используются стандартные правила сравнения натуральных чисел с применением знаков >, <, =.