Как находят область значения функции: пошаговый алгоритм с примерами

Знаете ли вы, что на самом деле представляет собой функция в математике и зачем нужно знать ее область значения? Эта информация пригодится для решения многих прикладных задач. Давайте разберемся!

Основные определения

Функция в математике - это зависимость одной переменной от другой. Переменная, от которой что-то зависит, называется независимой переменной или аргументом функции и обозначается чаще всего буквой x. Переменная, которая зависит, называется зависимой переменной или значением функции и обозначается буквой y.

Например, в функции y = 3x + 5 независимая переменная x может принимать любые значения, а значение y будет зависеть от того, какое значение мы подставим вместо x.

Например, для функции y = x2 область определения - все действительные числа. Подставляя любые действительные числа вместо x, мы получаем неотрицательные значения y. Значит, область значений этой функции - множество всех неотрицательных действительных чисел.

Область значений функции y = f(x) принято обозначать E(f).

Методы нахождения области значений

Существует два основных метода нахождения области значений функции:

1. Графический метод
2. Аналитический метод

При графическом методе строится график функции, а затем по графику определяется наибольшее и наименьшее значение, которое принимает функция. Это дает нам числовой промежуток - область значений.

Аналитический метод заключается в исследовании самой формулы функции. Находятся точки максимума и минимума, вычисляются пределы функции, а затем определяется область значений исходя из полученных данных.

Подробнее рассмотрим алгоритм аналитического метода. Если функция непрерывна на некотором отрезке [a; b], то:

1. Находим производную функции
2. Находим точки максимума и минимума функции на данном отрезке
3. Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
4. Записываем область значений в виде числового отрезка [y_min; y_max]

Если функция задана на интервале (a; b) или имеет точки разрыва, алгоритм аналогичный, но в нем используются пределы функции.

Давайте теперь разберем конкретные примеры пошагового нахождения области значения различных функций.

Пошаговые алгоритмы с примерами

Давайте разберем конкретные примеры пошагового нахождения области значения различных функций.

Пример 1. Линейная функция

Найдем область значения линейной функции вида y = 2x + 1 на отрезке [-3; 5]:

1. Производная функции равна 2 и не зависит от x
2. Так как производная положительна на всем отрезке, то функция возрастает и не имеет экстремумов
3. Подставляем границы отрезка в функцию:
   При x = -3, y = 2*(-3) + 1 = -5 При x = 5, y = 2*5 + 1 = 11
4. Получаем, что область значения функции на отрезке [-3; 5] есть отрезок [-5; 11]

Пример 2. Квадратичная функция

Найдем область значения квадратичной функции вида y = x2 - 4x + 5 на интервале (-∞; 2):

1. Производная функции равна 2x - 4
2. Приравниваем производную к 0 и получаем точку экстремума x = 2
3. В этой точке функция принимает значение y = 4 - 8 + 5 = 1
4. Когда x стремится к -∞, то y стремится к +∞
5. Когда x = 2, y = 1
6. Получаем область значения в виде интервала (1; +∞)

Пошаговый алгоритм нахождения области значения функции

Как мы уже выяснили ранее, что такое область значения функции - это множество всех значений зависимой переменной y, которые функция может принимать при подстановке значений независимой переменной x из ее области определения.

Давайте еще раз вспомним общий алгоритм нахождения области значения функции аналитическим методом:

1. Находим производную функции
2. Исследуем функцию на экстремумы
3. Находим пределы функции на границах области определения
4. Объединяем полученные данные и записываем область значений

Рассмотрим применение этого алгоритма для функции y = tg(x).

Изучение свойств функции y=tgx начнем с построения графика. Обратимся к единичной окружности:

Вычислите:

1.

Ответ:

Заключение

Мы рассмотрели основные определения, связанные с понятием области значений функции, изучили методы ее нахождения и разобрали конкретные примеры.

Надеюсь, эта информация поможет вам легко справляться с заданиями на нахождение областей значений различных функций на практике. Успехов!