Производные гиперболических функций: что это такое и как используются

Почему важно знать производные гиперболических функций и где они применяются? Эти вопросы мы рассмотрим в данной статье.

1. Основные определения и формулы

Для начала давайте определим, что такое производная функции. Производная показывает скорость изменения функции в данной точке. Она характеризует наклон касательной к графику функции. Формально производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

Теперь запишем основные формулы для вычисления производных гиперболических функций:

• Производная гиперболического синуса: sh'x = chx
• Производная гиперболического косинуса: ch'x = shx
• Производная гиперболического тангенса: th'x = (1 + th^2x) / ch^2x
• Производная гиперболического котангенса: cth'x = -(1 + cth^2x) / sh^2x

Для закрепления приведем таблицу основных производных гиперболических функций:

2. Вывод формул производных гиперболических функций

Производные гиперболических функций можно вывести, воспользовавшись определением производной и основными тождествами для гиперболических функций. Рассмотрим это подробно.

Начнем с гиперболического синуса. Пусть функция задана как y = sh x. Тогда:

sh'x = lim_Δx→0 (sh(x + Δx) - sh x) / Δx =

= lim_Δx→0 (sh x ch Δx + ch x sh Δx - sh x) / Δx =

= sh x · lim_Δx→0 (ch Δx - 1) / Δx + ch x · lim_Δx→0 sh Δx / Δx =

= sh x · 0 + ch x · 1 = ch x

Аналогично можно вывести формулу производной для гиперболического косинуса ch'x = shx.

Для вывода производной гиперболического тангенса воспользуемся формулой th x = sh x / ch x и правилом дифференцирования частного:

th'x = (ch x · sh'x - sh x · ch'x) / ch²x =

= (ch x · ch x - sh x · sh x) / ch²x =

= (1 + th²x) / ch²x

По аналогии можно получить выражение производной гиперболического котангенса.

Теперь разберем пару примеров вычисления производных гиперболических функций. Найдем, к примеру, производную sh'(2x):

sh'(2x) = ch(2x) = ch²x - sh²x

А также вычислим производную функции 3·cth(x + 5):

(3·cth(x + 5))' = 3·(cth(x + 5))' =

=-3·(1 + cth²(x + 5)) / sh²(x + 5)

Обратите внимание, что при нахождении производной обратной гиперболической функции используются те же приемы, что и для обычных обратных тригонометрических функций. Производные высших порядков гиперболических функций также вычисляются аналогично.

Итак, мы разобрали основные формулы для вычисления производных гиперболических функций и привели примеры их применения. Далее рассмотрим, где можно использовать эти производные на практике.

3. Применение производных гиперболических функций

Рассмотрим основные практические задачи, где используются производные гиперболических функций:

1. Нахождение критических точек функции
2. Исследование функции на экстремум
3. Построение графика функции
4. Решение гиперболических уравнений и неравенств
5. Вычисление неопределенных интегралов
6. Решение дифференциальных уравнений

Давайте разберем некоторые из этих задач подробнее.

Нахождение критических точек функции

Критические точки - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Чтобы найти критические точки функции, содержащей гиперболические функции, нужно вычислить ее производную и приравнять к нулю:

Например, пусть функция задана уравнением f(x) = 3·sh(2x) + 5·ch(x). Тогда:

f'(x) = 3·ch(2x)·2 + 5·sh(x) = 0

3·ch(2x) = -5·sh(x)

Решив это уравнение, можно найти критические точки исходной функции.

Исследование функции на экстремум

Чтобы определить, является ли критическая точка точкой максимума, минимума или перегиба, нужно исследовать знаки производной функции до и после этой точки.

Производим исследование функции f(x) из предыдущего примера. Видим, что производная равна нулю при ch(2x) = 5/3·sh(x). До этой точки производная положительна, после - отрицательна. Значит, эта точка - точка максимума.

Построение графика функции

Зная критические точки функции и характер ее монотонности на разных участках, можно построить приближенный эскиз графика этой функции. Также по производной определяется выпуклость и вогнутость графика.

Например, на основе проведенного выше исследования график функции f(x) = 3·sh(2x) + 5·ch(x) будет иметь точку максимума в точке, где выполняется уравнение ch(2x) = 5/3·sh(x). Слева от этой точки график возрастает, справа - убывает.