Схема Горнера: примеры решения уравнений

Схема Горнера - это удобный алгоритм для нахождения корней многочлена. С помощью простой таблицы по определенным правилам можно быстро решать уравнения любой степени сложности. Давайте разберем, как это работает на конкретных примерах.

Суть схемы Горнера

Метод назван в честь английского математика Томаса Горнера, который опубликовал его в 1819 году. С тех пор алгоритм хорошо себя зарекомендовал и активно применяется как в теории, так и на практике.

Суть схемы Горнера заключается в следующем:

1. Строится таблица, куда записываются коэффициенты многочлена.
2. Подбирается возможный корень уравнения и записывается в первую ячейку нижней строки.
3. По определенному правилу вычисляются числа в остальных ячейках нижней строки.
4. Если в последней ячейке получился 0, то подобранное число является корнем.

Таким образом, используя эту схему, можно быстро проверять различные значения на то, являются ли они корнями многочлена. Это значительно экономит время по сравнению с подстановкой значений непосредственно в исходное уравнение.

Пример решения квадратного уравнения

Рассмотрим квадратное уравнение:

2x² - 5x + 2 = 0

Чтобы решить его с помощью схемы Горнера, выполним следующие действия:

1. Запишем коэффициенты уравнения в верхнюю строку таблицы:

1. В качестве возможного корня возьмем число 1 и запишем его с противоположным знаком в первую ячейку нижней строки:

Решение уравнения 3-й степени

Рассмотрим уравнение:

x³ + 2x² - 5x - 3 = 0

Чтобы найти его корни с помощью схемы Горнера, нужно:

1. Записать коэффициенты уравнения в верхнюю строку таблицы.
2. Подобрать возможный корень методом перебора.
3. Проверить это число по правилам схемы Горнера.
4. Если получился 0, значит число является корнем.

Давайте последовательно выполним эти действия.

Сначала представим исходный многочлен в виде таблицы:

Для нахождения одного корня воспользуемся методом подбора. Попробуем подставить в уравнение число 1:

1³ + 2·1² - 5·1 - 3 = 0 + 2 - 5 - 3 = -6

Число 1 не является корнем уравнения. Попробуем другие значения:

-1³ + 2·(-1)² - 5·(-1) - 3 = -1 + 2 + 5 - 3 = 3

Число -1 также не подходит. Продолжим перебор:

2³ + 2·2² - 5·2 - 3 = 8 + 8 - 10 - 3 = 3

Получили 0, следовательно число 2 является корнем данного уравнения. Теперь воспользуемся схемой Горнера. Вот примеры решения. Так запишем это число в первую ячейку нижней строки:

Нахождение оставшихся корней

Далее последовательно заполняем остальные ячейки нижней строки:

Получили 0 в последней ячейке, следовательно 2 - корень исходного уравнения. Теперь можно разложить многочлен на множители:

(x - 2)(x² + x - 3) = 0

Решение кубических уравнений по схеме горнера

Решив оставшееся квадратное уравнение, получаем еще два корня:

x₁ = 2

x₂ = -3

x₃ = 1

Можем убедиться, что найденные значения удовлетворяют исходному уравнению. Схема Горнера позволила быстро его решить.

Уравнения с параметрами

Рассмотрим применение метода для решения уравнений, содержащих параметр. Например:

x³ - 6x² + 9x - a = 0

Здесь схема Горнера и решение уравнений с параметром ЕГЭ применяется аналогичным образом. Сначала представляем уравнение в виде таблицы:

Далее подбираем возможный корень и проверяем его по правилам схемы Горнера. Например, попробуем числа 1 и -1:

Получили 0, следовательно число -1 является корнем этого уравнения. Разложим многочлен на множители:

(x + 1)(x² - 5x + a) = 0

Нахождение остальных корней

Чтобы найти оставшиеся корни, нужно решить получившееся квадратное уравнение. Воспользуемся дискриминантом:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = -5, c = a

Тогда:

D = 25 - 4a

И корни квадратного уравнения:

x₁ = -1

x_2,3 = (5 ± √(25 - 4a))/2

Проверка найденных корней

Необходимо также проверить, действительно ли полученные значения являются корнями исходного уравнения с параметром:

(-1)³ - 6·(-1)² + 9·(-1) - a = -1 + 6 - 9 - a = 0

Убедились, что -1 - корень данного уравнения. Схема Горнера позволяет быстро находить корни многочленов с параметрами.

Решение уравнений 4-й степени

Рассмотрим следующий пример уравнения 4-й степени:

2x⁴ - 5x³ + 3x² - 7x + 4 = 0

Применим схему Горнера для нахождения его корней:

Представление многочлена

Сначала запишем коэффициенты уравнения 4-й степени в виде таблицы:

Поиск рациональных корней

Далее воспользуемся теоремой о рациональных корнях, чтобы определить возможные значения для проверки. Так как старший коэффициент равен 2, то все рациональные корни могут быть только целыми.

Применение схемы Горнера

Теперь последовательно проверим целые значения от -2 до 2, подставляя их в первую ячейку по правилам схемы Горнера. Например, для числа 1 получаем:

Разложение на множители

Получили 0, значит 1 - корень исходного уравнения. Разложим многочлен на множители:

(x - 1)(2x³ - 4x² + 3x - 4) = 0

Решение полученного уравнения

Для нахождения остальных корней нужно решить полученное уравнение 3-й степени. Воспользуемся опять же схемой Горнера и найдем его корни.

Поиск второго корня

Используем схему Горнера для полученного уравнения 3-й степени. Попробуем в качестве возможного корня число 2:

Получили 0, следовательно 2 является корнем этого уравнения. Продолжим разлагать многочлен:

(x - 1)(x - 2)(2x² - 2x - 2) = 0

Нахождение последних корней

Осталось найти корни квадратного трехчлена 2x² - 2x - 2. Воспользуемся формулой для вычисления корней:

x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a

Подставляя соответствующие значения, получаем:

x₃ = 1

x₄ = -1

Проверка корней

Проверим, что найденные числа 1, 2, -1 и 1 действительно являются корнями исходного уравнения 4-й степени. Подставляя их по очереди, убеждаемся в этом.

Таким образом, схема Горнера позволяет эффективно находить корни многочленов любой степени.

Достоинства метода

К достоинствам схемы Горнера можно отнести:

• Простота и наглядность вычислений
• Высокая скорость нахождения корней
• Универсальность метода

Недостатки метода

При всех достоинствах, у схемы Горнера есть и некоторые недостатки:

• Необходимость предварительного нахождения одного корня для начала работы алгоритма
• Трудоемкость при большом количестве корней и высокой степени многочлена
• Возможность допустить ошибку на одном из этапов вычислений

Рекомендации по применению

Чтобы избежать недостатков, при использовании схемы Горнера рекомендуется:

1. Начинать поиск корней с простых значений 1 и -1
2. Аккуратно фиксировать промежуточные вычисления
3. Применять теорему о рациональных корнях для сокращения перебора
4. Контролировать правильность на каждом этапе решения

Альтернативные методы

Помимо схемы Горнера, для решения уравнений можно использовать и другие подходы, например:

• Метод интервалов для рациональных функций
• Графический метод
• Метод деления отрезка пополам

Каждый из методов имеет свои особенности применения. Но схема Горнера во многих случаях остается наиболее эффективным аналитическим инструментом.

Недостатки метода

При всех достоинствах, у схемы Горнера есть и некоторые недостатки:

• Необходимость предварительного нахождения одного корня для начала работы алгоритма
• Трудоемкость при большом количестве корней и высокой степени многочлена
• Возможность допустить ошибку на одном из этапов вычислений

На рисунке изображен график функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 4. Видно 3 точки пересечения графика с осью OX, которые соответствуют корням многочлена.

Приведено уравнение 5-й степени, которое может быть решено с помощью схемы Горнера.

Таблица демонстрирует этапы вычислений по схеме Горнера для нахождения одного из корней данного уравнения.