Тангенс двойного угла: формулы и применение
Тангенс двойного угла - одна из важнейших формул в тригонометрии. Она позволяет выразить тригонометрические функции от угла, равного двойному заданному углу, через функции от этого заданного угла. Это часто бывает необходимо при решении разнообразных задач. Давайте подробно разберемся с выводом, свойствами и применениями этой полезной формулы.
Свойства и определение тангенса двойного угла
Начнем с определения тангенса двойного угла. Пусть дан произвольный угол α. Тогда тангенс двойного этого угла, то есть угла 2α, определяется следующей формулой:
tg 2α = \frac{2tg α}{1 - tg^2 α}Эта формула выражает тангенс угла 2α через тангенс исходного угла α. Рассмотрим ее геометрический смысл.
Геометрическая интерпретация
На единичной окружности с центром в начале координат тангенс угла равен отношению синуса этого угла к его косинусу. Удвоив исходный угол α, мы удваиваем и длины его синуса и косинуса на окружности. Отсюда и получается приведенная выше формула для тангенса.
Формула тангенса двойного угла справедлива при любых значениях угла α, за исключением тех, при которых знаменатель дроби обращается в ноль: α ≠ π/4 + πk/2, где k - любое целое число. В этих точках тангенс двойного угла не определен.
Связь с другими тригонометрическими функциями
Кроме тангенса, существуют похожие формулы двойного угла и для других тригонометрических функций - синуса, косинуса и котангенса:
- sin 2α = 2sin α cos α
- cos 2α = cos2 α - sin2 α = 2cos2 α - 1 = 1 - 2sin2 α
- ctg 2α = (ctg2 α - 1) / 2ctg α
С помощью этих соотношений можно выразить тангенс двойного угла и через другие функции от исходного угла α.
Также можно записать тангенс двойного угла через гиперболические функции от исходного угла. Это иногда используется в некоторых приложениях тригонометрии.
Основные свойства
Давайте суммируем основные свойства тангенса двойного угла в виде таблицы:
| Свойство | Формула |
| Определение через тангенс одинарного угла | tg 2α = (2tg α) / (1 - tg2 α) |
| Через синус и косинус одинарного угла | tg 2α = (2sin α cos α) / (cos2 α - sin2 α) |
| Четность/нечетность | Нечетная функция |
| Периодичность | π |
Итак, мы разобрали основные свойства, определение и геометрический смысл тангенса двойного угла. Теперь давайте выведем саму эту формулу.
Вывод формулы тангенса двойного угла
Существует несколько способов вывода нужной нам формулы tg2α. Рассмотрим два наиболее распространенных.
Вывод из определения тангенса
Напомним, что по определению tgα = sinα / cosα. Удвоим обе части этого равенства:
tg2α = (sin2α) / (cos2α)
= (2sinαcosα) / (cos2α - sin2α) = (2tgα) / (1 - tg2α) Последнее преобразование получено с помощью замены sin2α и cos2α из формул двойного угла для этих функций. В итоге мы и вывели нужную формулу для tg2α.
Вывод через формулы сложения
Еще один способ вывода - использовать двойной формулы сложения аргументов. Пусть 2α = α + α. Тогда:
tg(α + α) = (tgα + tgα) / (1 - tgα⋅tgα) tg2α = (2tgα) / (1 - tg2α) Получили тот же результат! Аналогично можно вывести формулу и для тройного угла 3α, и даже для произвольного n-кратного угла.
Теперь, когда формула тангенса двойного угла выведена, давайте разберемся с ее использованием для решения различных задач.
Применение при решении уравнений
Одно из основных применений формул двойного угла - двойной угол тангенса решение тригонометрических уравнений. Например, рассмотрим уравнение:
tg2x = 1/3, где 0 ≤ x ≤ π Преобразуем левую часть с помощью формулы tg2α которая чему равен тангенс двойного угла :
(2tgx) / (1 - tg2x) = 1/3 Решив полученное уравнение относительно tgx, находим tgx = ±1/√3. Отсюда x = π/6 + πk или x = π/3 + πk, где k - любое целое число. В соответствии с условием задачи выбираем единственное решение в заданном промежутке: x = π/6.
Решение неравенств
Помимо уравнений, формулу тангенса двойного угла можно использовать и при решении тригонометрических неравенств. Рассмотрим пример:
tg2x > 1, где 0 ≤ x ≤ π/2Заменим tg2x по формуле:
(2tgx) / (1 - tg2x) > 1Решая это неравенство, получаем: 0 < x < π/4.
Как видим, подстановка формулы двойного угла позволяет достаточно просто решать и тригонометрические неравенства.
Нахождение экстремумов функций
Еще одно важное применение формул двойного угла - нахождение наибольшего и наименьшего значения тригонометрических функций на заданном промежутке. Например, найдем max и min функции y = tg4x на отрезке [0; π/2].
Сначала выразим tg4x через tg2x с помощью формулы двойного угла:
tg4x = (2tg2x) / (1 - tg22x)А tg2x, в свою очередь, через tgx:
tg4x = [2(2tgx / (1 - tg2x))] / [1 - (2tgx / (1 - tg2x))2]Далее находим производную выражения tg4x по x и приравниваем ее к нулю. Решая полученное уравнение, находим критические точки x = 0 и x = π/4. Подставляя их в функцию tg4x, определяем max и min на заданном отрезке.
Задачи с параметром
Рассмотрим применение формулы тангенса двойного угла при решении задач с параметром. Например:
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение tg2x = a имеет ровно один корень. Для однозначности корня дробно-рациональная функция должна быть строго монотонной. Преобразуем левую часть:
(2tgx) / (1 - tg2x) = aОтсюда tgx может принимать лишь одно значение. Это выполняется при |a| > 1. Таким образом, искомые значения параметра: a < -1 или a > 1.
Как видим, использование свойств тангенса двойного угла позволяет решать и более сложные задачи с параметрами.