20 факториал: интересные факты о больших числах
20 факториал - это число с 20 нулями, которое практически невозможно представить. Давайте попробуем разобраться, что это за число и почему оно так велико.
Что такое факториал
Факториал - это произведение всех натуральных чисел от 1 до заданного числа. Обозначается восклицательным знаком. Например:
- 1! = 1
- 2! = 1 x 2 = 2
- 3! = 1 x 2 x 3 = 6
Как видно из примеров, факториал очень быстро растет с увеличением числа. Уже при небольших значениях получаются довольно большие числа.
Вычисление 20 факториала
Итак, давайте вычислим 20! - факториал числа 20:
- 1 x 2 x 3 x ... x 20
- Результат: 2432902008176640000
Это число, записанное полностью, будет содержать 20 нулей. То есть выглядит оно так:
2432902008176640000
Сравнение с другими большими числами
Для наглядности давайте сравним 20! с некоторыми другими большими числами:
| Число | Количество нулей |
| 1 миллион | 6 |
| 20! | 20 |
| 1 триллион | 12 |
Как видно, 20 факториал значительно больше миллиона и даже сравним по величине с триллионом!
Где может пригодиться 20 факториал
Хотя такие большие числа редко используются на практике, знание факториалов и умение оперировать большими числами может пригодиться, например, в таких областях:
- Комбинаторика - для подсчета числа перестановок и сочетаний
- Теория вероятностей - для расчета вероятностей событий
- Статистика - для анализа больших наборов данных
Давайте рассмотрим несколько примеров задач из разных областей, где могут использоваться факториалы и нужно уметь оперировать большими числами.
Комбинаторика
В комбинаторике часто нужно подсчитывать число различных комбинаций - перестановок, сочетаний и т.д. Например, сколько существует 5-значных чисел, в десятичной записи которых нет одинаковых цифр. Это как раз задача на перестановки и здесь нам пригодится факториал:
- Всего цифр для записи 5-значного числа: 5
- Число перестановок этих 5 цифр без повторений = 5!
- Ответ: 120
Теория вероятностей
В теории вероятностей факториалы используются для подсчета числа элементарных исходов. Например, при подбрасывании монеты 3 раза, сколько всего исходов. Каждый бросок может дать два исхода: орел или решка. Значит всего исходов при 3 бросках будет 2 в степени 3. А это равно 2! = 2
Статистика
А вот пример из области статистики, где требуются вычисления с большими числами. Допустим, нужно оценить число всевозможных комбинаций двух наборов данных, в каждом из которых содержится 20 элементов. Число комбинаций двух множеств по 20 элементов = 20! x 20! = огромное число с 39 нулями.
Вычисление факториалов на компьютере
Хотя выполнить вручную вычисление 20! несложно, при бОльших значениях это становится практически невозможно. На помощь приходят компьютеры и языки программирования, где есть встроенные функции для вычисления факториалов.
Однако и у компьютеров есть ограничения на максимально возможное число, с которым они могут работать. Поэтому при слишком больших факториалах могут возникать ошибки переполнения или неточности в вычислениях.