Находим объем многогранника: формулы и примеры расчета

Для успешного решения задач по стереометрии на экзамене необходимо хорошо знать основные формулы объема и площади поверхности различных многогранников. В этой статье мы систематизируем базовые знания и рассмотрим типовые примеры решения задач ЕГЭ для закрепления материала.

Начнем с объемов. Формулы вычисления объема куба, параллелепипеда, призмы и пирамиды нужно знать наизусть. После формул перейдем к примерам их применения на практике при решении тестовых заданий.

Для нахождения объема многогранника сложной формы покажем два основных способа решения. Кроме объемов, в статье будут приведены задачи на вычисление площади поверхности, нахождение расстояний между вершинами фигур и другие типовые задания ЕГЭ по стереометрии.

Куб: простая формула объема

Объем многогранника является одной из важнейших характеристик этого геометрического тела. Его определяют как сумму объемов всех ограниченных многогранником частей пространства. Особенно просто вычислить объем куба – всего лишь нужно возвести длину его ребра в кубическую степень.

Формула для расчета объема куба выглядит так: V = a^3, где a – длина ребра куба. Именно оттуда и пошло выражение «возвести в куб», означающее умножить число само на себя трижды. Если же у нас имеется объем куба и нужно найти длину его ребра, раскрываем эту же формулу, только по-другому: a = ∛V.

• Проще всего запомнить и использовать эту формулу за счет наглядности: чтобы представить объем куба, достаточно мысленно поставить «кубик» длиной a на каждое из его ребер.
• Примеры вычисления объема по формуле V = a^3: рассчитаем объем куба со стороной 10 см, он будет равен 10^3 = 1000 см^3.

Эта таблица поможет лучше запомнить и понять связь длины ребра и объема куба. В нейдополнительно показаны два примера расчета.

Объем параллелепипеда через длину, ширину и высоту

Параллелепипед также относится к разряду многогранников. Его можно себе представить как удлиненный кубик, грани которого – это прямоугольники и параллелограммы. Для того чтобы найти объем параллелепипеда, необходимо знать его длину, ширину и высоту.

Формула для расчета объема параллелепипеда: V = a * b * h, где a, b и h – это соответственно длина, ширина и высота тела. Объем многогранника– объем пространства, ограниченного его гранями, и может быть представлен как сумма объемов его элементарных частей.

Наглядно вывести эту формулу можно следующим образом: представьте, что вы складываете несколько параллелепипедов вместе, все с одинаковыми размерами основания (a * b) и высотой h. Их суммарный объем будет равен количеству слоев, умноженному на объем одного параллелепипеда: V = n * a * b * h.

• Если размеры параллелепипеда выражены в одинаковых единицах, скажем, в сантиметрах, то и результат мы получим также в кубических сантиметрах.
• Для расчета если параллелепипед неправильный, необходимо использовать размеры соответствующего правильного параллелепипеда, описанного около него.

Приведем конкретный пример применения формулы вычисления объема параллелепипеда. Пусть длина равна 8 см, ширина – 6 см, высота – 10 см. Подставляем в формулу: V = 8 * 6 * 10 = 480 (см^3).

Формула объема призмы с треугольным основанием

Призма – еще один вид многогранника, ограниченного двумя равными многоугольниками, параллельными между собой, и параллелограммами. В случае когда основанием призмы служит треугольник, мы имеем дело с треугольной призмой. Рассмотрим, как вычислить ее объем.

Основная формула для нахождения объема призмы: V = S * h, где S – площадь основания призмы, а h – ее высота, то есть расстояние между основаниями. Объем многогранника всегда равен произведению площади одного из оснований на высоту тела.

Применительно к треугольной призме ее основанием является треугольник, площадь которого можно вычислить, зная длины сторон, по формуле Герона: S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где p = (a + b + c) / 2 – полупериметр треугольника, а a, b и c – его стороны.

• Высоту треугольной призмы находят, проведя из вершины одного из основных треугольников перпендикуляр к плоскости другого основания.
• Полученное по формуле значение объема будет выражено в тех же единицах измерения, что и площадь основания, и высота призмы.

Пример расчета объема треугольной призмы: пусть стороны треугольника-основания равны 6 см, 8 см и 10 см, а высота призмы составляет 12 см. Найдем сначала площадь основания: p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см, S = √(12 * 6 * 4 * 2) = 24 см^2. Теперь объем призмы: V = 24 * 12 = 288 см^3.

Объем пирамиды: треть от объема призмы

Пирамида – выпуклый многогранник, ограниченный несколькими многоугольными гранями, сходящимися в одной общей вершине. Рассмотрим, как рассчитывается ее объем и как он соотносится с объемом призмы, имеющей такое же основание.

Формула объема пирамиды выглядит следующим образом: V = (1/3) * S * h, где S – площадь основания пирамиды, а h – ее высота, то есть перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Объем многогранника в этом случае представляет собой одну треть от объема призмы с таким же основанием и такой же высотой.

Доказательство этой формулы можно провести, разделив пирамиду тремя плоскостями, проходящими через вершину и середины ребер основания, на 4 равных по объему тетраэдра. Сумма их объемов как раз будет равна одной трети от объема описанной около пирамиды призмы.

• Пример 1: Вычислим объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 10 см и высотой 15 см. Площадь основания S = 10^2 = 100 см^2. Объем: V = (1/3) * 100 * 15 = 500 см^3.
• Пример 2: Объем четырехугольной пирамиды составляет 108 м^3, а ее высота 6 м. Чему равна площадь основания? Решение: 108 = (1/3) * S * 6, откуда S = 108 * 3 / 6 = 54 м^2.

При решении задач важно запомнить эту простую формулу объема пирамиды и уметь находить высоту и площадь основания для конкретных случаев различных многогранников.

Сложные многогранники: два способа решения

Под сложными многогранниками понимают составные фигуры, образованные соединением нескольких многогранников разными способами. Для нахождения объема сложного многогранника можно использовать разные подходы.

Первый способ основан на достраивании составного многогранника до правильного параллелепипеда или призмы. После этого суммарный объем вычисляют стандартным образом по формуле V = S * h, а затем из этой величины вычитают объемы «лишних» частей.

• Пример: Рассмотрим многогранник, представляющий собой прямоугольный параллелепипед 10х8х12 см, из которого изъят меньший параллелепипед размерами 4х8х5 см. Сначала найдем объем большого параллелепипеда: V = 10 * 8 * 12 = 960 см^3.
• Затем вычислим объем маленького: 4 * 8 * 5 = 160 см^3 и вычтем его из первого объема: V = 960 - 160 = 800 см^3.

Второй подход применяется, когда многогранник невозможно достроить до параллелепипеда или призмы. В этом случае необходимо представить его как сумму более простых фигур, объемы которых удобно вычислять по известным формулам.

Применим этот метод к тому же примеру: изначальный многогранник можно представить в виде большого параллелепипеда и вычесть из него два меньших с объемами: V1 = 10 * 4 * 12 = 480 см^3 и V2 = 4 * 8 * 5 = 160 см^3. Тогда искомый объем: V = 10 * 8 * 12 - V1 - V2 = 960 - 480 - 160 = 320 см^3.