Теорема Котельникова: формулировка, история и особенности
В конце девятнадцатого начале двадцатого века бурно развивались средства телефонной и радиосвязи. В 1882 г. в Санкт Петербурге заработала первая в России телефонная станция. У этой станции было 259 абонентов. А в Москве примерно в это же время было 200 абонентов.
В 1896 г. Александр Попов передал на расстояние 250 метров первый сигнал по радио, состоявший всего из двух слов: "Генрих Герц".
Развитие средств связи было во главе технического прогресса. С тех пор прошло чуть более века, и благодаря работам ученых и инженеров этой отрасли мы видим, как изменился мир.
Мы не представляем нашей жизни без телефона, радиосвязи, телевидения и интернета. В основе этого лежит распространение электромагнитных волн, теорию которых разработал Джеймс Клерк Максвелл в середине девятнадцатого века. Электромагнитные волны являются носителем полезных сигналов, а в теории передачи сигналов основополагающее значение играет теорема российского ученого и инженера, академика Владимира Александровича Котельникова.
В науку она вошла под названием теорема Котельникова.
Владимир Александрович Котельников
Будущий академик родился в 1908 г. в семье преподавателей казанского университета. Учился в МВТУ им. Баумана, посещал интересующие его лекции в МГУ. В 1930 г. электротехнический факультет, на котором обучался Котельников, преобразовался в Московский энергетический институт, его Котельников и закончил. После окончания института он работал в различных вузах и лабораториях. Во время войны заведовал лабораторией закрытого НИИ в Уфе, где занимался вопросами защищенных каналов связи, кодировки сообщений.
Примерно такие разработки упоминаются у Солженицына в его романе "В круге первом".
Около сорока лет он заведовал кафедрой "Основы радиотехники", и был деканом радиотехнического факультета. В последствии стал директором института радиотехники и электроники АН СССР.
Все студенты соответствующих специальностей до сих пор учатся по учебнику Котельникова "Теоретические основы радиотехники".
Котельников также занимался проблемами радиоастрономии, радиофизическими исследованиями океанов, космическими исследованиями.
Свою последнюю работу "Модельная квантовая механика", написанную уже в почти в 97 лет, он не успел опубликовать. Она вышла только в 2008 г.
Скончался В. А. Котельников на 97-ом году жизни 11 февраля 2005 г. Он дважды герой социалистического труда, награжден множеством правительственных наград. В его честь названа одна из малых планет.
Теорема Котельникова
Развитие систем связи ставило множество теоретических вопросов. Например, сигналы какого диапазона частот можно передавать по каналам связи, разной физической структуры, с разной полосой пропускания, чтобы при приеме не потерять информации.
В 1933 году Котельников доказал свою теорему, которая иначе называется теорема отсчетов.
Формулировка теоремы Котельникова:
Если аналоговый сигнал имеет финитный (ограниченной по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты.
Описывается идеальный случай, когда время длительности сигнала бесконечно. Он не имеет прерываний, но имеет ограниченный спектр (по теореме Котельникова). Однако математическая модель, описывающая сигналы с ограниченным спектром, на практике хорошо применима и к реальным сигналам.
На основании теоремы Котельникова может быть реализован способ дискретной передачи непрерывных сигналов.
Физический смысл теоремы
Теорему Котельникова простыми словами можно объяснить следующим образом. Если надо передать некий сигнал, то не обязательно передавать его целиком. Можно передавать его мгновенные импульсы. Частота передачи этих импульсов называется частотой дискретизации в теореме Котельникова. Она должна быть в два раза больше верхней частоты спектра сигнала. В этом случае на приемном конце сигнал восстанавливается без искажений.
О дискретизации теорема Котельникова делает очень важные выводы. Для разного типа сигналов существуют разные частоты дискретизации. Для речевого (телефонного) сообщения при ширине канала 3,4 кГц - 6,8 кГц, а для телевизионного сигнала - 16 мГц.
В теории связи существует несколько типов каналов связи. На физическом уровне - проводные, акустические, оптические, инфракрасные и радиоканалы. И хотя теорема разработана для идеального канала связи, она применима и для всех остальных типов каналов.
Многоканальная электросвязь
Теорема Котельникова лежит в основе многоканальной электросвязи. При дискретизации и передаче импульсов период между импульсами гораздо больше их длительности. Это значит, что в промежутках импульсов одного сигнала (это называется скважность) можно передавать импульсы другого сигнала. Были реализованы системы на 12, 15, 30, 120, 180, 1920 речевых каналов. То есть по одной паре проводов можно передать одновременно около 2000 телефонных разговоров.
На основании теоремы Котельникова, простыми словами можно сказать, возникли практически все современные системы связи.
Гарри Найквист
Как это иногда бывает в науке, ученые, занимающиеся подобными проблемами, приходят почти одновременно к одинаковым выводам. Это вполне закономерно. До сих пор не утихают споры, кто открыл закон сохранения - Ломоносов или Лавуазье, кто изобрел лампу накаливания - Яблочкин или Эдисон, кто изобрел радио - Попов или Маркони. Этот список можно продолжать без конца.
Так, американский физик шведского происхождения Гарри Найквист в 1927 г. в журнале "Определенные проблемы телеграфной передачи" опубликовал свои исследования с выводами как у Котельникова. Его теорему иногда называют теорема Котельникова-Найквиста.
Гарри Найквист родился в 1907 году, защитил диссертацию в Йельском университете, работал в лаборатории Белла. Там занимался проблемами теплового шума в усилителях, участвовал в разработке первого фототелеграфа. Его труды послужили основой для дальнейших разработок Клода Шеннона. Найквист скончался в 1976 г.
Клод Шеннон
Клода Шеннона иногда называют отцом информационного века - столь велик его вклад в теорию связи и информатики. Клод Шеннон родился в 1916 г. в США. Работал в лаборатории Белла и ряде американских университетов. Во время войны вместе с Аланом Тьюрингом занимался расшифровкой кодов немецких подводных лодок.
В 1948 г. в статье "Математическая теория связи" он предложил термин бит в качестве обозначения минимальной единицы информацию. Теорему, посвященную восстановлению сигнала по его дискретным отсчетам, он доказал (независимо от Котельникова) в 1949 году. Ее иногда называют теорема Котельникова-Шеннона. Правда на Западе больше принято наименование теорема Найквиста-Шеннона.
Шеннон ввел понятие энтропии в теорию связи. Занимался изучением кодов. Благодаря его работам, криптография стала полноценной наукой.
Котельников и криптография
Котельников тоже занимался проблемами кодов и криптографии. К сожалению, во времена СССР, все, что связано с кодами, шифрами, было строго засекречено. И открытых публикаций многих работ Котельникова быть не могло. Однако он работал над созданием закрытых каналов связи, коды которых противник взломать не мог.
18 июня 1941 года, практически перед самой войной, была написана статья Котельникова "Основные положения автоматической шифровки", опубликованная в сборнике 2006 г. "Квантовая криптография и теорема Котельникова об одноразовых ключах и отсчетах".
Помехоустойчивость
С помощью работы Котельникова была разработана теория потенциальной помехоустойчивости, которая определяет, какое максимальное количество помех может быть в канале связи, чтобы информация не была потеряна. Рассматривается вариант идеального приемника, который далек от реального. Но пути улучшения канала связи четко определены.
Космические исследования
Коллектив под руководством Котельникова внес большой вклад в системы космической связи, автоматики и телеметрии. Сергей Павлович Королев привлекал лабораторию Котельникова к решению проблем космической отрасли.
Были построены десятки контрольно-измерительных пунктов, связанные в единый контрольно-измерительный комплекс.
Была разработана радиолокационная аппаратура для межпланетных космических станций, осуществлено картографирование при непрозрачной атмосфере планеты Венеры. С помощью устройств, разработанных под руководством Котельникова, с космических станций "Венера" и "Магеллан" проводилась радиолокация областей планеты по заранее определенным секторам. В результате мы знаем, что скрывается на Венере за плотными облаками. Также велись исследования Марса, Юпитера, Меркурия.
Разработки Котельникова нашли применение в орбитальных станциях и современных радиотелескопах.
В 1998 г. В. А.Котельников был награжден премией фон Кармана. Это премия Международной академии астронавтики, которая дается людям с творческим мышлением за значительный вклад в космические исследования.
Поиск радиосигналов внеземных цивилизаций
Международная программа поиска радиосигналов внеземных цивилизаций Seti с помощью крупнейших радиотелескопов была начата в 90-ые годы. Именно Котельников обосновал необходимость использования многоканальных приемников для этой цели. Современные приемники прослушивают одновременно миллионы радиоканалов, перекрывая весь возможный диапазон.
Также под его руководством были выполнены работы, которые определяют критерии разумного узкополосного сигнала в общем шуме и помехах.
К сожалению, пока эти поиски не увенчались успехом. Но в масштабах истории они ведутся совсем недолго.
Теорема Котельникова относится к фундаментальным открытиям в науке. Ее смело можно поставить в один ряд с теоремами Пифагора, Эйлера, Гаусса, Лоренца и т. д.
В каждой области, где необходимо передавать или принимать любые электромагнитные сигналы, мы сознательно или неосознанно пользуемся теоремой Котельникова. Мы разговариваем по телефону, смотрим телевизор, слушаем радио, пользуемся интернетом. Все это в основе своей содержит принцип дискретизации сигналов.