Производные сложных функций, примеры расчета

Производные функций - одна из важнейших тем высшей математики. Знание производных необходимо для решения многих прикладных задач физики, экономики, техники. Производная показывает скорость изменения функции в данной точке.

Часто на практике приходится иметь дело со сложными функциями, состоящими из нескольких вложенных функций. В этом случае для нахождения производной применяют специальное правило дифференцирования сложной функции.

В данной статье на конкретных примерах с подробными пошаговыми решениями разбирается как находить производные сложных функций. Рассматриваются характерные случаи, включающих различные комбинации тригонометрических, показательных, логарифмических и других элементарных функций.

Приводятся советы, как не запутаться и правильно определить внутреннюю и внешнюю функцию в сложном выражении. Даются рекомендации по применению различных правил дифференцирования.

Изучив материал статьи, читатель сможет самостоятельно находить производные сложных функций, уверенно решая типовые и нестандартные задачи с производными.

Понятие сложной функции

Сложная функция - это функция, в которой одна функция вложена в другую. Например, y=sin(3x+1) является сложной функцией, так как внешней функцией здесь является sin(u), а внутренней - 3x+1. То есть сначала вычисляется значение внутренней функции 3x+1, а затем подставляется под sin(u).

Для нахождения производной сложной функции нужно разобраться, какая функция является внешней, а какая - внутренней. Это можно сделать, мысленно подставив конкретное значение x и посчитав выражение. Та функция, которая считается первой - внутренняя.

Например, для функции y=tg(5x-2) при x=1 сначала находится значение внутренней функции 5x-2=3, а затем вычисляется tg(3). Значит, 5x-2 - внутренняя функция, а tg(u) - внешняя.

Решение производной сложной функции подразумевает пошаговое нахождение производной такой функции с использованием соответствующих правил дифференцирования и математических преобразований.

Ключевые этапы нахождения производной сложной функции: 1) определение внутренней и внешней функций; 2) дифференцирование сначала по внешней функции; 3) дифференцирование по внутренней функции.

Правило дифференцирования сложной функции

Для нахождения производной сложной функции вида y=f(g(x)) используется специальное правило дифференцирования:

где f(u) - внешняя функция, а g(x) - внутренняя.
Сначала находится производная внешней функции f(u), как если бы вместо u там стояла элементарная функция, например x.
Затем подставляется вместо u выражение для внутренней функции g(x) и находится производная от нее.

Рассмотрим производные сложных функций: примеры. Дана функция y=sin(2x^2). Сначала определяем, какая функция внешняя, а какая внутренняя. Подставив x=1, получаем: сначала вычисляется значение внутренней функции (2x^2), равное 2. Затем подставляется под sin(u). Значит, внешняя функция - sin(u), внутренняя - 2x^2.

Далее применяем вышеуказанное правило дифференцирования:

находим производную внешней функции (sin(u)) по таблице производных: sin'(u)=cos(u)
подставляем вместо u выражение для внутренней функции: cos(2x^2)
находим производную внутренней функции (2x^2) по правилу дифференцирования степени: (2x^2)' = 2·2x = 4x

Полный ответ:

По правилу дифференцирования сложной функции сначала находится производная внешней функции, а затем подставляется выражение для внутренней и находится ее производная.

Примеры простых сложных функций

Рассмотрим несколько производных сложных функций с одним вложением функций.

Например, пусть дана функция y = sin(5x+1). Сначала определяем внешнюю и внутреннюю функции. Подставляя x=1, получаем: сначала вычисляется значение выражения 5x+1, равное 6, а затем подставляется под sin. Значит, внешняя функция - sin, внутренняя - 5x+1.

Применяем правило дифференцирования сложной функции:

sin(u) = cos(u) - производная внешней функции;
Подставляем выражение для внутренней: cos(5x+1);
(5x+1) = 5 - производная внутренней функции.

Ответ:

Рассмотрим еще один пример: y = ln(2x^2 - 1)

Внешняя функция: ln(u);
Внутренняя: 2x^2 - 1;
ln`(u) = 1/u;
Подставляем вместо u: 1/(2x^2 - 1);
(2x^2 - 1)` = 4x.

Можно привести множество подобных производных сложных функций с одним вложением функций. Главное при этом - четко определить внешнюю и внутреннюю функции, а затем последовательно дифференцировать сначала одну, затем другую.

Сложные функции с несколькими вложениями

В практических задачах часто встречаются производные сложных функций с двумя, тремя и более вложенными функциями. Рассмотрим такие примеры подробнее.

Пусть дана функция y = (tg(arcsin(x)))^2. Здесь сразу три вложенные функции: arcsin, tg и возведение в квадрат. Чтобы определить порядок вложения, подставим конкретное значение x. При x=0,5:

Сначала вычисляется arcsin(0,5) = π/6;
Затем вычисляется tg(π/6) = 1;
Потом результат возводится в квадрат: 1^2 = 1.

Значит, порядок функций следующий: самая внутренняя - arcsin, затем - tg, самая внешняя - возведение в квадрат. Применяем правило дифференцирования:

Внешняя функция: u^2. Ее производная: 2u.
Подставляем вместо u предыдущую функцию: 2tg(arcsin(x)).
Дифференцируем предыдущую функцию: tg'(arcsin(x)) = 1/cos^2(arcsin(x))
Подставляем аргумент: 1/cos^2(arcsin(x))
Находим производную самой внутренней: (arcsin(x))' = 1/sqrt(1-x^2)

Совмещение с другими правилами дифференцирования

При нахождении производных сложных функций часто приходится комбинировать правило дифференцирования сложной функции с другими правилами.

Рассмотрим такие производные сложных функций: y = tg(x^3 + ln(x)) - x^5

Здесь сложная функция является частью более сложного выражения. Сначала воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

Затем возьмем производную первого слагаемого по правилу дифференцирования сложной функции:
Внешняя функция - tg(u), ее производная: tg'(u) = 1 / cos^2(u)
Внутренняя функция - x^3 + ln(x), ее производная: 3x^2 + 1/x

Подставляем выражение внутренней функции в производную внешней:

Аналогично находим производную второго слагаемого и приравниваем сумму производных к нулю.

Решение задач со сложными производными

Рассмотрим применение правила дифференцирования сложной функции для решения прикладных задач.

Например, имеется задача: требуется найти скорость изменения объема цилиндра V = πr^2h, если радиус основания цилиндра уменьшается с постоянной скоростью 3 см/с, а высота растет со скоростью 5 см/с.

Здесь объем цилиндра является функцией от двух переменных - радиуса r и высоты h: V(r,h). Нам нужно найти полную производную:

Так как V является производной сложных функций, (π и r^2 - внешние функции, а h - внутренняя), то воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:
Подставляя значения производных dr/dt = -3 см/с и dh/dt = 5 см/с, получаем ответ: dV/dt = 95π см^3/с

Аналогично можно решать множество прикладных задач из различных областей, используя аппарат дифференциального исчисления.

Понимание производных сложных функций

При нахождении производной сложной функции важно правильно определить внутреннюю и внешнюю функции. Внутренняя функция - это та, которая находится внутри другой функции. Внешняя - та, которая снаружи. Сначала нужно взять производную от внешней функции, затем от внутренней.

Производные сложных функций часто встречаются на практике. Их нахождение требует последовательного применения правил дифференцирования. Сначала используются правила для суммы, разности, произведения, частного. В самом конце применяется правило дифференцирования сложной функции.

Решение производной сложной функции - это последовательность действий по нахождению производной от данной функции с использованием всех необходимых правил дифференцирования. Главное - не спешить, аккуратно выполнять каждый шаг.

Сидор Черненко 18 марта, 2024