Одна из наиболее интересных тем по геометрии из школьного курса – это «Четырехугольники» (8 класс). Какие виды таких фигур существуют, какими особыми свойствами они обладают? В чем уникальность четырехугольников с углами по девяносто градусов? Давайте разберемся во всем этом.
Какая геометрическая фигура называется четырехугольником
Многоугольники, которые состоят из четырех сторон и, соответственно, из четырех вершин (углов), называются в евклидовой геометрии четырехугольниками.
Интересна история названия этого вида фигур. В российском языке существительное «четырехугольник» образовано от словосочетания «четыре угла» (точно так же, как «треугольник» - три угла, «пятиугольник» - пять углов и т. п.).
Однако на латыни (через посредничество которой пришли многие геометрические термины в большинство языков мира) он называется quadrilateral. Это слово образовано из числительного quadri (четыре) и существительного latus (сторона). Так что можно сделать вывод, что у древних этот многоугольник именовался не иначе как "четырехсторонник".
Кстати, такое название (с упором на наличие у фигур этого вида четырех сторон, а не углов) сохранилось в некоторых современных языках. Например, в английском – quadrilateral и в французском – quadrilatère.
При этом в большинстве славянских языков рассматриваемый вид фигур идентифицируют все так же по количеству углов, а не сторон. Например, в словацком (štvoruholník), в болгарском («четириъгълник»), в белорусском («чатырохкутнік»), в украинском («чотирикутник»), в чешском (čtyřúhelník), но в польском четырехугольник именуют по количеству сторон – czworoboczny.
Какие виды четырехугольников изучаются в школьной программе
В современной геометрии выделяются 4 вида многоугольников с четырьмя сторонами.
- Параллелограмм (parallelogram). Противолежащие стороны четырехугольника такого попарно параллельны между собой и, соответственно, равны также попарно.
- Трапеция (trapezium или trapezoid). Этот четырехугольник состоит из двух противолежащих сторон, параллельных между собой. Однако другая пара сторон не имеет такой особенности.
Не изучаемые в школьном курсе геометрии виды четырехугольников
Помимо вышеперечисленных, существуют еще два вида четырехугольников, с которыми школьников не знакомят на уроках геометрии, из-за их особой сложности.
- Дельтоид (kite) - фигура, в которой каждая из двух пар смежных сторон равна по длине между собою. Свое название такой четырехугольник получил из-за того, что по внешнему виду он довольно сильно напоминает букву греческого алфавита - «дельта».
- Антипараллелограмм (antiparallelogram) – эта фигура так же сложна, как и ее название. В ней две противоположные стороны равны, но при этом они не параллельны между собою. Кроме того, длинные противоположные стороны этого четырехугольника пересекаются между собой, как и продолжения двух других, более коротких сторон.
Виды параллелограмма
Разобравшись с основными видами четырехугольников, стоит обратить внимание на его подвиды. Так, все параллелограммы, в свою очередь, тоже делятся на четыре группы.
- Классический параллелограмм.
- Ромб (rhombus) – четырехугольная фигура с равными сторонами. Ее диагонали пересекаются под прямым углом, деля ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
- Прямоугольник (rectangle). Название это говорит само за себя. Так как это четырехугольник с прямыми углами (каждый из них равен девяноста градусам). Противоположные стороны его не только параллельны между собою, но и равны.
- Квадрат (square). Как и прямоугольник, это четырехугольник с прямыми углами, но у него все стороны равны между собой. Этим данная фигура близка к ромбу. Так что можно утверждать, что квадрат - это нечто среднее между ромбом и прямоугольником.
Особые свойства прямоугольника
Рассматривая фигуры, в которых каждый из углов между сторонами, равен девяноста градусам, стоит более внимательно остановиться на прямоугольнике. Итак, какими особенными он обладает признаками, отличающими его от других параллелограммов?
Чтобы утверждать, что рассматриваемый параллелограмм – прямоугольник, его диагонали должны быть равны между собою, а каждый из углов - прямыми. Кроме того, квадрат его диагоналей должен соответствовать сумме квадратов двух смежных сторон этой фигуры. Иными словами, классический прямоугольник состоит из двух прямоугольных треугольников, а в них, как известно, сумма квадратов катетов, равна квадрату гипотенузы. В роли гипотенузы выступает диагональ рассматриваемого четырехугольника.
Последний из перечисленных признаков этой фигуры является также ее особенным свойством. Помимо этого, есть и другие. Например, то, что все стороны изучаемого четырехугольника с прямыми углами - это одновременно и его высоты.
Кроме того, если вокруг любого прямоугольника начертить круг, его диаметр будет равен диагонали вписанной фигуры.
Среди других свойств четырехугольника этого, то, что он является плоским и в неевклидовой геометрии не существует. Это связано с тем, что в такой системе отсутствуют четырехугольные фигуры, сумма углов которых равна трехстах шестидесяти градусам.
Квадрат и его особенности
Разобравшись с признаками и свойствами прямоугольника, стоит обратить внимание на второй известный науке четырехугольник с прямыми углами (это квадрат).
Являясь по факту тем же прямоугольником, но с равными сторонами, эта фигура обладает всеми его свойствами. Но в отличие от него, квадрат присутствует в неевклидовой геометрии.
Кроме этого, у данной фигуры, есть и другие собственные отличительные черты. Например, то, что диагонали квадрата не просто равны между собою, но и пересекаются под прямым углом. Таким образом, как и ромб, квадрат состоит из четырех прямоугольных треугольников, на которые ее делят диагонали.
Помимо этого, данная фигура является самой симметричным среди всех четырехугольников.
Чему равна сумма углов четырехугольника
Рассматривая особенности четырехугольников евклидовой геометрии, стоит обратить внимание на их углы.
Так, в каждой из вышеперечисленных фигур, независимо от того, есть у нее прямые углы или нет, общая сумма их всегда одинакова – триста шестьдесят градусов. Это уникальная отличительная черта этого вида фигур.
Периметр четырехугольников
Разобравшись с тем, чему равна сумма углов четырехугольника и другими особенными свойствами фигур этого вида, стоит узнать, какими формулами лучше всего пользоваться, чтобы вычислить их периметр и площадь.
Чтобы определить периметр любого четырехугольника, нужно лишь сложить между собою длину всех его сторон.
Например, в фигуре KLMN ее периметр можно вычислить по формуле: Р = KL + LM + MN + KN. Если подставить сюда числа, получится: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (см).
В случае когда рассматриваемая фигура – это ромб или квадрат, для нахождения периметра можно упростить формулу, просто помножив длину одной из его сторон на четыре: Р = KL х 4. Например: 6 х 4=24 (см).
Формулы четырехугольников площади
Разобравшись с тем, как найти периметр любого фигуры с четырьмя углами и сторонами, стоит рассмотреть наиболее популярные и простые способы нахождения ее площади.
- Классический способ вычисления ее – это использовать формулу S=1/2 КМ х LN х SIN LON. Получается, что площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла, расположенного между ними.
- Если фигура, чью площадь нужно найти - это прямоугольник или квадрат (диагонали которых всегда равны между собой), можно упростить формулу, возведя в квадрат длину одной диагонали и умножив ее на синус угла между ними и разделив все пополам. Например: S=1/2 КМ 2 х SIN LON.
- Также при нахождении площади прямоугольника может помочь информация о периметре рассматриваемой фигуры и длине одной из ее сторон. В таком случае наиболее целесообразно будет воспользоваться формулой S = KN х (Р – 2 KN)/2.
- В случае с квадратом его свойства позволяют использовать несколько дополнительных формул для поиска площади. Например, зная периметр фигуры, можно использовать такой вариант: S = Р 2/ 16. А если известен радиус вписанного в четырехугольник круга, площадь квадрата находится весьма похожим способом: S = 4r2. Если известен радиус описанной окружности, то подойдет другая формула: S = 2R2. Также площадь квадрата равна 0,8 длинны линии, проведенной из угла фигуры к средине противоположной стороны.
- Помимо всех вышеперечисленных, есть также отдельная формула для нахождения площади, рассчитанная специально на параллелограмм. Ее можно применять, если известна, длинна двух высот фигуры и размер угла между ними. Тогда высоты нужно перемножить между собою и синусом угла между ними. Стоит отметить, что использовать эту формулу можно и ко всем фигурам, которые относятся к параллелограммам (то есть к прямоугольнику, ромбу и квадрату).
Другие свойства четырехугольников: вписанные и описанные окружности
Рассмотрев особенности и свойства четырехугольника как фигуры евклидовой геометрии, стоит обратить внимание на возможность описывать вокруг или вписывать внутри него круги:
- Если суммы противолежащих углов фигуры составляют по сто восемьдесят градусов и попарно равны между собою, то вокруг такого четырехугольника можно свободно описать окружность.
- Согласно теореме Птолемея, если снаружи многоугольника с четырьмя сторонами описан круг, то произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон данной фигуры. Таким образом, формула будет выглядеть так: КМ х LN = KL х MN + LM х KN.
- Если построить четырехугольник, в котором суммы противоположных сторон равны между собою, то в него можно вписать круг.
Разобравшись с тем, что такое четырехугольник, что за виды его существуют, какие из них имеют только прямые углы между сторонами и какими свойствами они обладают, стоит запомнить весь этот материал. В особенности формулы нахождения периметра и площади рассмотренных многоугольников. Ведь фигуры такой формы - одни из самых распространенных, и эти знания могут пригодиться для вычислений в реальной жизни.
