Доказательства не требуются: пример аксиомы

Что скрывается за загадочным словом "аксиома", откуда оно пришло и что означает? Школьник 7–8-го класса с лёгкостью ответит на это вопрос, поскольку совсем недавно, при освоении базового курса планиметрии, он уже сталкивался с заданием: "Какие утверждения называются аксиомами, приведите примеры". Аналогичный вопрос взрослого человека, скорее всего, приведёт в затруднение. Чем больше времени проходит с момента учебы, тем сложнее вспомнить азы наук. Вместе с тем слово «аксиома» часто используется и в повседневном обиходе.

Определение термина

Так какие утверждения называются аксиомами? Примеры аксиом весьма многообразны и не ограничиваются какой-либо одной областью науки. Упомянутый термин пришел из древнегреческого языка и в дословном переводе подразумевает «принятое положение».

Строгое определение этого термина гласит, что аксиома – основной тезис какой-либо теории, не нуждающийся в доказательствах. Широко распространено это понятие в математике (а особенно в геометрии), логике, философии.

Ещё древний грек Аристотель заявил, что очевидным фактам доказательства не нужны. Например, ни у кого не вызывает сомнения, что солнечный свет виден только днём. Развил данную теорию другой математик – Евклид. Пример аксиомы про параллельные прямые, которые никогда не перекрещиваются, принадлежит ему.

Со временем определение термина менялось. Сейчас аксиома воспринимается не только как начало науки, а и как некоторый полученный промежуточный результат, который служит отправной точкой для дальнейшей теории.

Утверждения из школьного курса

Школьники знакомятся с не требующими подтверждения постулатами на уроках математики. Поэтому, когда выпускникам старших классов дают задание: "Приведите примеры аксиом", они чаще всего вспоминают курсы геометрии и алгебры. Вот образцы часто встречающихся ответов:

• для прямой есть точки, которые к ней относятся (то есть лежат на прямой) и не относятся (не лежат на прямой);
• прямую можно прочертить через любые две точки;
• чтобы разбить плоскость на две полуплоскости, нужно провести прямую.

Алгебра и арифметика в явном виде подобных утверждений не вводят, но пример аксиомы можно найти и в этих науках:

• любое число равно самому себе;
• единица предшествует всем натуральным числам;
• если k=l, то и l=k.

Так, через простые тезисы вводятся более сложные понятия, делаются следствия и выводятся теоремы.

Построение научной теории на основе аксиом

Чтобы построить научную теорию (неважно о какой области исследований идёт речь), нужна основа – кирпичики, из которых она будет складываться. Суть аксиоматического метода: создаётся словарь терминов, формулируется пример аксиомы, на базе которого выводятся остальные постулаты.

Научный глоссарий должен содержать элементарные понятия, то есть те, которые невозможно определить через другие:

• Последовательно объясняя каждый термин, излагая его значения, доходят до основ любой науки.
• Следующий шаг – выявление базового набора утверждений, который должен быть достаточным для доказательства остальных утверждений теории. Сами же базовые постулаты принимаются без обоснования.
• Заключительный шаг – построение и логический вывод теорем.

Постулаты из различных наук

Выражения без доказательств есть не только в точных науках, но и в тех, которые принято относить к гуманитарным. Яркий пример – философия, определяющая аксиому как утверждение, познать которое можно без практических знаний.

Пример аксиомы есть и в юридических науках: "нельзя судить собственное деяние". Исходя из данного утверждения, выводят нормы гражданского права – беспристрастность судопроизводства, то есть судья не может рассматривать дело, если он прямо или косвенно в нём заинтересован.

Не все принимается на веру

Чтобы понять разницу между истинными аксиомами и простыми выражениями, которые объявляются истиной, нужно проанализировать отношение к ним. Например, если речь идёт о религии, где всё принимается на веру, там распространён принцип полного убеждения, что нечто является истиной, поскольку это невозможно доказать. А в научной среде говорят о невозможности пока проверить какое-то положение, соответственно, оно будет являться аксиомой. Готовность усомниться, перепроверять – вот что отличает истинного учёного.