Таблица квантилей стандартного нормального распределения является важным инструментом в статистическом анализе данных. Давайте разберемся, что это такое и зачем она нужна.
Что такое таблица квантилей нормального распределения
Квантиль - это значение случайной величины, ниже которого находится заданная доля всех значений этой величины. Например, медиана - это 2-й квантиль, то есть значение, ниже которого находится 50% всех данных.
Таблица квантилей представляет собой набор таких значений для стандартного нормального распределения. Это специальный вид нормального распределения, имеющий математическое ожидание 0 и дисперсию 1. Такое распределение обозначается N(0, 1).
Зачем нужна таблица квантилей нормального распределения
Данная таблица позволяет легко находить интересующие нас вероятности для стандартного нормального распределения. Например, найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от -1,96 до 1,96. Или ответить на вопрос, какое значение является 95% квантилем.
Кроме того, таблицу можно использовать для:
- Проверки статистических гипотез
- Построения доверительных интервалов
- Определения границ контрольных карт
Практически в любой задаче, где фигурирует нормальное распределение, таблица квантилей может быть полезна.
Таблица квантилей нормального распределения: пример использования
Давайте на примере разберем, как можно использовать таблицу квантилей.
Пусть у нас есть некоторый технологический процесс, контролируемый параметр которого распределен нормально. Мы хотим проверить гипотезу о том, что математическое ожидание этого параметра равно 100 (т.е. значение 100 является номинальным). Чтобы это сделать, возьмем выборку из 25 замеров и вычислим выборочное среднее. Получилось 98.
Далее с помощью таблицы квантилей проверим, попадает ли это значение в 95% доверительный интервал. Расчеты можно выполнить в Excel с использованием функции НОРМОБР:
| Нижняя граница ДИ | =НОРМОБР(0.025;98;5) | 94.02 |
| Верхняя граница ДИ | =НОРМОБР(0.975;98;5) | 101.98 |
Полученный доверительный интервал [94.02; 101.98] включает в себя номинальное значение 100. Значит, на уровне значимости 5% мы не можем отвергнуть гипотезу о равенстве математического ожидания 100.
Данный пример демонстрирует, как таблица квантилей нормального распределения позволяет решать прикладные задачи в области статистики и контроля качества.
Квантиль стандартного нормального распределения таблица: типовые значения
Рассмотрим некоторые типовые вероятности и соответствующие им квантили в рамках стандартного нормального распределения:
- 0,9 квантиль = 1,645
- 0,95 квантиль = 1,96
- 0,99 квантиль = 2,576
Эти значения часто используются в статистике и в задачах контроля качества. Например, квантиль 1,96 соответствует уровню значимости 5%, который широко применяется при проверке гипотез.
Как определить квантиль нормального распределения по таблице
Чтобы найти квантиль в таблице, нужно:
- Задать интересующую нас вероятность (долю значений ниже квантиля), например 0,95
- Найти эту вероятность в первом столбце таблицы (или ближайшее к ней значение)
- Посмотреть значение квантиля в соответствующей строке второго столбца
Ниже приведен фрагмент таблицы квантилей стандартного нормального распределения:
| 0,90 | 1,645 |
| 0,95 | 1,960 |
| 0,975 | 2,24 |
| 0,99 | 2,576 |
Как видно из таблицы, 0,95 квантиль стандартного нормального распределения равен 1,96.
Таблица квантилей нормального распределения
Данная таблица содержит основные квантили стандартного нормального распределения с точностью до сотых долей. Ее удобно использовать для быстрого нахождения требуемых вероятностей и квантилей.
Таблица имеет два столбца. Первый содержит значения вероятностей (доли значений ниже квантиля), второй - соответствующие этим вероятностям квантили.
Например, вероятности 0,95 соответствует квантиль 1,96. Это означает, что 95% значений стандартного нормального распределения находится ниже отметки 1,96. Или, другими словами, в интервал [-1,96; 1,96] попадает 95% всех наблюдений.
Использование таблицы квантилей стандартного нормального распределения позволяет быстро и просто находить нужные вероятности и квантили. Это сильно упрощает решение многих прикладных задач в рамках теории вероятностей, математической статистики и контроля качества.
В статье мы разобрали основные сведения о данной таблице, рассмотрели конкретный пример ее использования и типовые значения. Также приведено фото таблицы квантилей для наглядности.
