Как найти нужный угол в треугольнике: пошаговое решение с примерами

Треугольник - одна из важнейших геометрических фигур. Умение находить его углы пригодится для решения множества практических задач в самых разных областях.

Базовые сведения о треугольнике и его углах

Треугольник образуется, когда соединить три точки, не лежащие на одной прямой. Эти точки называются вершинами, а отрезки между ними - сторонами треугольника. В каждой вершине находится угол.

Сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна 180°.

По величине углов различают несколько видов треугольников:

• Остроугольный - все углы острые (меньше 90°)
• Прямоугольный - один из углов равен 90°
• Тупоугольный - один из углов тупой (больше 90°, но меньше 180°)

Также существует понятие внешнего угла треугольника. Это угол, образованный продолжением двух его сторон. Внешний угол равен сумме внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Нахождение угла по двум другим углам

Итак, перейдем к вопросу, как найти угол треугольника. Самый простой способ - использовать теорему о сумме внутренних углов:

α + β + γ = 180°

Где α, β и γ - внутренние углы треугольника. Отсюда, если известны два угла, третий можно найти вычитанием:

1. Записать значения известных углов
2. Сложить их
3. Вычесть сумму из 180°

Рассмотрим на примере. Дан треугольник, у которого ∠ABC = 30°, ∠BCA = 105°. Требуется найти ∠CAB. Пошаговое решение:

1. ∠ABC = 30°
2. ∠BCA = 105°
3. ∠ABC + ∠BCA = 30° + 105° = 135°
4. 180° - 135° = 45°

Ответ: ∠CAB = 45 градусов.

Нахождение углов по сторонам треугольника как найти градус угла треугольника

Еще один распространенный случай, когда заданы длины сторон треугольника. Тут на помощь приходит теорема косинусов:

Где a, b, c - стороны треугольника, а γ - угол между сторонами a и b. Для нахождения угла из этой формулы нужно выразить cos(γ) и затем найти сам угол γ. Рассмотрим пример.

Дан треугольник со сторонами: a = 3 см, b = 4 см, c = 5 см. Найти как найти угол если известны стороны.

Решение:

1. Подставляем значения сторон в теорему косинусов:
   c
   ²
   = a
   ²
   + b
   ²
   - 2ab cos(γ) 5
   ²
   = 3
   ²
   + 4
   ²
   - 2·3·4 cos(γ) 25 = 9 + 16 - 24 cos(γ)
2. Выражаем cos(γ):
   25 = 25 - 24 cos(γ) 1 = 1 - cos(γ) cos(γ) = 0
3. Находим угол γ:
   cos(γ) = 0 γ = 90°

Ответ: искомый угол равен 90 градусов.

Аналогично можно найти как найти угол зная стороны с помощью других тригонометрических тождеств - теоремы синусов, теоремы тангенсов и так далее.