Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Рассмотрим подробнее его основные свойства.
Определение параллелограмма
Дадим строгое определение: параллелограмм - это четырехугольник ABCD, у которого:
- AB параллельно CD
- AD параллельно BC
Из этого определения следует ряд важных свойств параллелограмма.
Основные свойства параллелограмма
-
Противоположные стороны параллелограмма равны:
- AB = CD AD = BC
-
Противоположные углы параллелограмма равны:
- ∠A = ∠C ∠B = ∠D
-
Диагонали параллелограмма пересекаются в своих серединах (делится пополам).
-
Сумма смежных (прилежащих) углов параллелограмма равна 180°:
- ∠A + ∠B = 180° ∠B + ∠C = 180° ∠C + ∠D = 180° ∠D + ∠A = 180°
Эти свойства вытекают из определения параллелограмма и теорем о параллельных прямых. Рассмотрим подробнее доказательства некоторых из них.
Доказательство равенства противоположных сторон и углов
Свойства углов и сторон параллелограмма: Проведем диагональ BD параллелограмма ABCD (см. рисунок). Тогда треугольники ABD и CDB будут равны по стороне BD и углам при ней. Следовательно, AB = DC и AD = BC, а также ∠ABD = ∠CDB и ∠ADB = ∠CDB. Но ∠ABD и ∠CDB - это ∠A и ∠C параллелограмма, а ∠ADB и ∠CDB - это ∠B и ∠D. Значит, в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Таким образом, свойства противоположных сторон и углов параллелограмма доказаны из равенства треугольников, образованных диагональю параллелограмма.
Доказательство свойства диагоналей
Доказать свойство сторон и углов параллелограмма: Диагональ BD делит параллелограмм ABCD на два треугольника ABD и CDB, которые равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, треугольники равны по всем элементам, в частности, BC = AD (стороны треугольников) и ∠ABC = ∠ADC (углы треугольников).
Так как треугольники равны, то точки пересечения диагоналей O и P являются серединами этих диагоналей. Действительно, в треугольниках равны соответствующие стороны:
- BO = CO (как стороны равных треугольников)
- AO = DO (как стороны равных треугольников)
Значит, диагонали пересекаются в середине, что и требовалось доказать свойство сторон и углов параллелограмма.
Свойства углов и сторон параллелограмма: свойство углов, прилежащих к одной стороне
Еще одним важным свойством параллелограмма является то, что сумма его углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Это свойство вытекает из того, что соответствующие углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых. Например, для стороны AB параллелограмма ABCD имеем:
- ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы)
- ∠C + ∠D = 180° (как внутренние односторонние углы)
Аналогично для других сторон параллелограмма. Это утверждение для прилежащих углов также является важным свойством углов и сторон параллелограмма.
Площадь параллелограмма
Помимо углов и сторон, у параллелограмма есть еще одна важная характеристика - площадь. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
где a - сторона параллелограмма, h - высота, проведенная к этой стороне.
Эта формула выводится из того, что параллелограмм делится диагональю на два равных треугольника, площадь каждого из которых равна .
Применение свойств параллелограмма при решении задач
Рассмотренные свойства параллелограмма широко используются при решении геометрических задач. Рассмотрим несколько примеров.
-
Дан параллелограмм ABCD. Найти угол C, если ∠A = 120°.
Решение. Используем свойство равенства противоположных углов: ∠A = ∠C. Значит, ∠C = 120°.
-
В параллелограмме ABCD точка пересечения диагоналей делит диагональ BD в отношении 2:1, считая от вершины B. Найти отношение сторон BC и AD.
Решение. По свойству диагоналей, BO:OD = 1:2. Но из равенства треугольников ABD и CDB получаем, что BC:AD = BO:OD = 1:2.
В этих примерах мы видим, что знание свойств параллелограмма позволяет достаточно просто решать задачи на нахождение элементов этой фигуры.
Свойства углов и сторон параллелограмма: виды параллелограммов
В зависимости от соотношения сторон и углов, выделяют несколько видов параллелограммов:
- Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые.
- Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны.
- Квадрат - параллелограмм, который одновременно является и прямоугольником и ромбом (все углы прямые и все стороны равны).
Для каждого из этих видов параллелограммов справедливы все рассмотренные выше свойства. Однако у них есть и дополнительные свойства, вытекающие из равенства сторон или прямизны углов.
Применение в архитектуре и технике
Свойства параллелограмма, в частности прямоугольника и квадрата, широко используются в архитектуре, строительстве, технике и дизайне.
Прямоугольные и квадратные формы часто применяются при возведении зданий и сооружений, так как позволяют эффективно использовать пространство. Примеры:
- Прямоугольная форма комнат, окон, дверных проемов.
- Квадратные или прямоугольные плитка, кирпичи, блоки.
- Прямоугольные конструкции в мостостроении и строительстве высотных зданий.
В машиностроении и приборостроении также активно используются детали и компоненты, имеющие форму параллелограмма, прямоугольника или квадрата:
- Прямоугольные платы, корпуса приборов, щиты с измерительными приборами.
- Параллелограммные рычаги, механизмы, звенья в трансмиссиях.
- Квадратные основания, станины, направляющие станков.
Знание свойств этих геометрических фигур позволяет оптимально проектировать соответствующие конструкции и механизмы.
Выводы
Таким образом, основными свойствами углов и сторон параллелограмма являются:
- Равенство противоположных сторон и углов.
- Пересечение диагоналей в середине.
- Сумма прилежащих углов равна 180°.
Эти свойства позволяют доказать многие утверждения о параллелограмме, вычислить его площадь и решать задачи на нахождение элементов этой фигуры. Кроме того, параллелограмм широко применяется на практике благодаря простоте и "универсальности" своих свойств.
