Формула Пуазейля: закономерность движения вязких жидкостей
Движение жидкостей и газов - фундаментальный процесс, определяющий нашу жизнь. От кровотока внутри организма до обтекания самолета воздушным потоком законы гидродинамики управляют многими явлениями. Однако до сих пор мы не до конца понимаем эти удивительные закономерности. Давайте разберемся вместе! Начнем с закона, открытого Пуазейлем в 1840 году и до сих пор актуального. Что это за закон и как он работает? Погружаемся в таинственный мир движения жидкостей!
История открытия закона Пуазейля
В 1839 году немецкий инженер Готфрид Хаген провел серию экспериментов по исследованию движения воды в стеклянных трубках. Он обнаружил, что скорость течения прямо пропорциональна перепаду давления и четвертой степени радиуса трубки. Однако Хаген не смог дать это явление теоретического объяснения.
Спустя год, в 1840-1841 годах, французский физиолог Жан Леонард Мари Пуазейль независимо провел аналогичные опыты и получил те же эмпирические зависимости, что и Хаген. Более того, Пуазейль вывел математическую формулу Пуазейля, связывающую расход жидкости с градиентом давления, геометрическими размерами трубки и вязкостью жидкости.
В 1845 году английский математик Джордж Стокс на основе уравнений Навье-Стокса теоретически показал справедливость эмпирических результатов Хагена и Пуазейля. Он также установил связь коэффициента пропорциональности в формуле Пуазейля с вязкостью жидкости.
Закон Пуазейля — Википедия
Зако́н Пуазейля (иногда закон Ха́гена — Пуазейля или в иной транскрипции — закон Га́гена — Пуазейля) — физический закон гидродинамики для так называемого течения Пуазейля, то есть установившегося течения вязкой, в частном случае несжимаемой, жидкости в тонкой цилиндрической трубе.
Таким образом, закон Пуазейля был открыт экспериментально Готфридом Хагеном в 1839 году, а затем продублирован в независимых опытах Жаном Пуазейлем в 1840-1841 годах. Математическую теорию этого явления впервые представил Джордж Стокс на основе уравнений Навье-Стокса. Поэтому в зарубежной литературе закон часто называют законом Хагена-Пуазейля или даже Гагена-Пуазейля. Однако в России укоренилось название по фамилии Пуазейля, поскольку именно он вывел известную формулу Пуазейля.
Физический смысл закона Пуазейля
Формула Пуазейля для установившегося ламинарного течения несжимаемой ньютоновской жидкости в длинной цилиндрической трубе имеет вид:
где:
- Q - объемный расход жидкости, м3/с
- ΔP - перепад давления, Па
- L - длина трубы, м
- η - динамическая вязкость, Па·с
- R - радиус трубы, м
Данная формула показывает, что расход прямо пропорционален перепаду давления в трубе, радиусу в четвертой степени и обратно пропорционален длине трубы и вязкости жидкости. Это соответствует экспериментальным результатам Пуазейля.
Однако формула Пуазейля справедлива лишь при выполнении ряда условий:
- Течение ламинарное (число Рейнольдса меньше критического значения)
- Жидкость несжимаемая и изотермическая
- Труба бесконечно длинная и прямая
- Течение установившееся (стационарное)
При нарушении этих условий требуется применять более сложные уравнения Навье-Стокса или численные CFD-методы. Тем не менее, закон Пуазейля остается хорошим инженерным приближением для узкого класса практически важных задач ламинарного течения жидкостей.
В следующей части статьи рассмотрим, где на практике используют формулу Пуазейля и как применять ее для инженерных расчетов.
Применение формулы Пуазейля
Формула Пуазейля широко используется в инженерной практике для расчета различных гидравлических систем. Рассмотрим основные области ее применения.
Расчет трубопроводов
Одно из классических применений формулы Пуазейля - это расчет оптимальных параметров трубопроводов. Зная требуемый расход Q, перепад давления ΔP, вязкость η и длину трубы L, по формуле можно найти необходимый радиус трубы R, при котором будет обеспечен этот расход. В инженерной практике, как правило, задают наоборот существующий радиус трубы и требуемый расход, а затем оценивают, достаточен ли будет перепад давления для обеспечения такого расхода.
Измерение вязкости жидкостей
Закон Пуазейля часто используют в приборах для определения вязкости - вискозиметрах. Фиксируя расход жидкости Q, размеры трубки, перепад давления ΔP и длину трубки L, можно по формуле Пуазейля вычислить вязкость η. Поскольку остальные параметры легко контролировать, этот метод является основой для стандартных измерений вязкости.
Формула пуазейля вывод
В вывод формула Пуазейля была получена из решения уравнений Навье-Стокса для случая ламинарного течения жидкости в цилиндрической трубке при ряде упрощающих предположений. Уравнения Навье-Стокса являются математическим выражением основных законов сохранения для вязкой жидкости.
Моделирование кровотока
В медицине закон Пуазейля широко применяют для моделирования движения крови по кровеносным сосудам. Хотя кровь - сложная неньютоновская суспензия, в первом приближении зачастую ее можно с хорошей точностью считать ньютоновской жидкостью и описывать движение при помощи уравнений Пуазейля. Это позволяет оценивать состояние кровотока в сосудах и диагностировать заболевания сердечно-сосудистой системы.
Перспективы в наногидравлике
В последнее время формула Пуазейля активно применяется в области наногидравлики - раздела науки, изучающего течение жидкостей в каналах нанометровых размеров. Показано, что классические уравнения сохраняют применимость и на таких масштабах. Это открывает путь к созданию высокопроизводительных насосов, фильтров, микрочипов для анализа жидкостей объемом в несколько нанолитров.