Параметрически заданная функция: свойства и особенности

Параметрически заданные функции - удобный математический инструмент для моделирования различных процессов. Давайте разберемся в особенностях такого подхода и научимся эффективно применять параметрические функции на практике.

1. Основные понятия и определения

Что такое параметрически заданная функция и как она отличается от обычной функции?

• Параметрически заданная функция определяется не одним, а сразу двумя уравнениями:

x = f(t)

y = g(t)

Здесь t - параметр, x и y - функции от этого параметра.

• В отличие от обычной функции y = f(x), где связь между x и y задана явно, в параметрической форме эта связь устанавливается косвенно, через дополнительную переменную-параметр t.

Как записать параметрическое уравнение функции:

1. Ввести дополнительную переменную-параметр t
2. Записать зависимость аргумента x от t
3. Записать зависимость функции y от того же параметра t

Примеры параметрически заданных функций:

• Окружность: x = Rcos(t) y = Rsin(t)
• Эллипс: x = a·cos(t) y = b·sin(t)

Преимущества параметрического задания функций:

• Позволяет описывать сложные зависимости, которые трудно или невозможно записать в обычном виде y = f(x)
• Удобно для компьютерного моделирования и визуализации
• Часто используется в прикладных задачах: механике, физике, экономике

Как перейти от параметрической формы к неявной и наоборот. В простых случаях возможно исключить параметр t и получить зависимость y от x в явном виде. Но для многих параметрически заданных функций это сделать невозможно, и они могут быть выражены только в параметрической форме.

2. Свойства параметрически заданных функций

Рассмотрим основные вопросы, которые изучаются при исследовании функций, на примере параметрически заданной функции:

x = 3cos(t)

y = 3sin(t)

Нахождение области определения

Область определения параметрической функции совпадает с областью определения параметра t. В нашем случае параметр t может принимать любые действительные значения, следовательно:

t ∈ (-∞; +∞)

Значит, область определения функции - вся числовая прямая.

Исследование на непрерывность

Функции x(t) и y(t) непрерывны при любом t из области определения, так как являются тригонометрическими функциями.

Следовательно, параметрически заданная функция непрерывна на всей области определения.

Дифференцирование

Формула для нахождения производной параметрически заданной функции:

Где:

• y' - производная функции по x
• x' - производная аргумента x по параметру t
• y' - производная функции y по параметру t

Порядок действий:

1. Найти x′(t) и y′(t) - производные функций от параметра t
2. Подставить их в формулу выше

На конкретном примере параметрически заданной функции покажем, как находить производную.

Имеем функцию:

x = 3cos(t)

y = 3sin(t)

Сначала находим производные x'(t) и y'(t):

x'(t) = -3sin(t)

y'(t) = 3cos(t)

Подставляем их в формулу:

Получаем производную параметрически заданной функции:

y' = (3cos(t))/(-3sin(t)) = ctg(t)

Особенности второй и n-ных производных

Для нахождения второй производной используется та же формула, только вместо y' и x' подставляются их производные:

Аналогично находятся производные более высоких порядков.

Интегрирование параметрически заданных функций

Порядок действий при интегрировании:

1. Проинтегрировать функции x(t) и y(t) по параметру t
2. Получить неопределенный интеграл
3. Для вычисления определенного интеграла подставить границы интегрирования

Особенность в том, что границы задаются для параметра t, а не для самой функции.

Нахождение пределов

Пределы параметрической функции находятся аналогично, как и для обычной функции одной переменной. Рассматриваются предельные значения x(t) и y(t) при стремлении параметра t к соответствующей границе.

Построение графика

Для построения графика необходимо:

1. Задать диапазон изменения параметра t
2. Подставляя значения t, вычислить соответствующие пары координат (x, y)
3. Построить полученные точки на координатной плоскости

Можно также воспользоваться компьютерной визуализацией.