Площадь правильного восьмиугольника: формулы и примеры расчета

Правильный восьмиугольник, или октагон, - удивительная геометрическая фигура, обладающая множеством уникальных свойств. Этот многоугольник с восемью сторонами издавна привлекал внимание ученых, философов и архитекторов.

Ученый чертит восьмиугольник

Основные свойства правильного восьмиугольника

Итак, давайте разберемся, что представляет собой правильный восьмиугольник и какие у него есть основные свойства.

Правильный восьмиугольник - это выпуклый многоугольник, у которого:

  • все 8 сторон равны между собой;
  • все 8 углов равны 135°;
  • диагонали делят его на 16 равных треугольников.

Интересный факт: если соединить середины сторон правильного восьмиугольника, то получится вписанный в него квадрат.

У правильного восьмиугольника есть ось симметрии, проходящая через каждую из вершин и середину противоположной стороны. Всего у него 8 осей симметрии.

Благодаря своей правильной форме с одинаковыми сторонами и углами, октагон часто использовался в архитектуре. Его можно увидеть в постройках Древней Греции, арабских мечетях, средневековых замках и даже в христианских храмах.

Например, восьмиугольную форму имеет купол храма Гроба Господня в Иерусалиме, башня Ветров в Афинах, баптистерий во Флоренции.

Формулы для вычисления площади правильного восьмиугольника

Существует несколько разных способов найти площадь правильного восьмиугольника. Рассмотрим основные формулы.

Средневековый замок с восьмиугольными башнями

Эта формула выводится из разбиения восьмиугольника на 8 равных треугольников и суммирования их площадей. Она довольно простая, но требует знать длину стороны.

Формула через радиус R описанной окружности:

При выводе этой формулы используются свойства касательной из любой точки окружности к этой окружности. Нужно знать радиус описанной окружности.

Аналогично можно записать формулу через радиус вписанной в восьмиугольник окружности r.

Какая формула подойдет - зависит от того, какие исходные данные о восьмиугольнике заданы в конкретной задаче.

Пошаговый алгоритм вычисления площади

Чтобы гарантированно правильно найти площадь правильного восьмиугольника, можно использовать следующий алгоритм:

  1. Записать все известные параметры восьмиугольника (сторона, радиусы окружностей и т.д.)
  2. Выбрать подходящую формулу в соответствии с заданными данными
  3. Подставить числовые значения в формулу
  4. Выполнить необходимые математические действия и вычислить площадь
  5. Проверить правильность полученного ответа

Если сомневаетесь в выборе формулы или верности решения - не стесняйтесь обращаться за помощью к опытным педагогам!

В следующем разделе мы разберем несколько конкретных примеров применения этого алгоритма на практике с подробным решением.

Примеры задач на вычисление площади правильного восьмиугольника

Чтобы лучше разобраться в применении формул, давайте решим несколько практических задач на вычисление площади правильного восьмиугольника.

Пример 1: Дана сторона правильного восьмиугольника, равная 6 см. Найдем его площадь.

Решение: Применяем формулу через сторону, ответ: S = 93 см2

Пример 2

Дан периметр правильного восьмиугольника, равный 80 см. Найти площадь.

Решение:

  1. Находим сторону: a = P / 8 = 80 / 8 = 10 см
  2. Подставляем в формулу через сторону: S = 2*(1+√2)*a2 = 2*(1+√2)*102 = 200 см2

Ответ: S = 200 см2

Пример 3

Дан радиус описанной окружности R = 4 см. Вычислить площадь восьмиугольника.

Решение:

Используем соответствующую формулу:

S = 128 см2

Задачи повышенной сложности

Рассмотрим несколько более сложных задач.

  • В квадрат со стороной 10 см вписан правильный восьмиугольник. Найти его площадь.
  • Сторона правильного восьмиугольника равна диагонали квадрата со стороной 5 см. Вычислить площадь.
  • Площадь правильного шестиугольника равна площади правильного восьмиугольника. Найти сторону последнего, если сторона шестиугольника 10 см.

Подобные задачи требуют дополнительных рассуждений, связывающих данные условия и искомое значение. Решите их самостоятельно!

Статья закончилась. Вопросы остались?
Комментариев 2
Подписаться
Я хочу получать
Правила публикации
0
S8-угольника=2аА (А-ширина, а-сторона)
Копировать ссылку
0
S8уг=2Da (D-диам. вписаной окруж., а-сторона)
Копировать ссылку
Редактирование комментария возможно в течении пяти минут после его создания, либо до момента появления ответа на данный комментарий.
Новости и общество
Новости и общество
Новости и общество