С древних времен люди интересовались геометрическими фигурами, в частности квадратом и прямоугольником. Один интересный факт заключается в том, что формулу для вычисления площади квадрата удалось вывести, используя теорему Пифагора о квадрате гипотенузы.
Основные определения
Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые и равны 90 градусам. Основные свойства прямоугольника:
- Противоположные стороны параллельны и равны между собой
- Диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам
Формулы прямоугольника:
- Площадь: S = a * b
- Периметр: P = 2*(a + b)
Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны. Свойства квадрата:
- Все углы прямые по 90 градусов
- Все стороны равной длины
- Диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам
Формулы квадрата:
- Площадь:
S = a2
- Периметр:
P = 4 * a
- Диагональ:
d = a * √2
Признак | Прямоугольник | Квадрат |
Углы | Все 90 градусов | Все 90 градусов |
Стороны | Противоположные равны | Все равны |
Диагонали | Перпендикулярны, делятся пополам | Перпендикулярны, делятся пополам |
Взаимосвязь прямоугольника и квадрата
Как видно из определений и свойств этих фигур, квадрат является частным случаем прямоугольника, когда все его стороны равны. У них много общего:
- Прямые углы
- Параллельные противоположные стороны
- Перпендикулярные диагонали
В то же время квадрат отличается тем, что имеет равные стороны. Именно поэтому для него справедливы особые формулы площади и периметра.
На рисунке хорошо видно, что квадрат АКЕД является частным случаем прямоугольника АБЦД, когда стороны AB = BC = AD = DC:
Эти знания о соотношении квадрата и прямоугольника применяются при решении геометрических задач. Например:
Дан прямоугольник со сторонами 10 см и 5 см. Найти его диагональ и периметр, если этот прямоугольник является квадратом.
Решение:
Так как прямоугольник является квадратом, значит его стороны равны. Пусть сторона квадрата = а. Тогда:
- а = 10 = 5 см
- P = 4 * а = 4 * 10 = 40 см (периметр)
- d = а * √2 = 10 * √2 = 14,1 см (диагональ)
Доказательство того, что квадрат является прямоугольником
Итак, мы выяснили, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника. Остается доказать обратное утверждение – что любой квадрат является прямоугольником .
Для этого рассмотрим произвольный квадрат ABCD со стороной а. По определению, у него все углы равны 90 градусов. Значит, этот квадрат удовлетворяет определению прямоугольника как четырехугольника с прямыми углами.
Кроме того, в любом квадрате противоположные стороны AB и DC параллельны и равны между собой. Это еще один признак прямоугольника.
Таким образом, мы доказали, что любой квадрат является прямоугольником. Это верно для квадрата с любой длиной стороны.

Вывод формулы площади квадрата
Теперь, зная, что квадрат – это частный случай прямоугольника, посмотрим, как выводится формула для вычисления его площади:
Пусть задан квадрат ABCD со стороной а. Проведем в нем диагональ AC.
Получатся два прямоугольных треугольника ABC и ADC с общим катетом а. По теореме Пифагора имеем:
- в треугольнике ABC:
a2 + b2 = c2
- в треугольнике ADC:
a2 + d2 = c2
Но в квадрате стороны и диагонали равны (b = d = a, c = d).
Значит, a2 + a2 = d2
Или после сокращения 2*a2 = d2
Отсюда площадь квадрата равна S = (a2)/2 = a2.
Занимательные факты про квадраты
Квадраты и прямоугольники часто встречаются в окружающем мире:
- Квадратные окна, рамки для картин, салфетки на столе
- Прямоугольные двери, окна, столы
- Тетради, книги, смартфоны – все имеют форму прямоугольника
Интересно, что самый большой квадрат на Земле – это Площадь Тяньаньмэнь в Пекине, Китай с длиной стороны 440 метров!

Квадраты в искусстве и архитектуре
Художники и архитекторы также часто используют квадратную форму в своих работах:
- Картина «Черный квадрат» Казимира Малевича
- Архитектурный стиль «Кубизм» с прямоугольными формами
- Зиккураты – древние храмы квадратной формы в Месопотамии
Квадраты в искусстве и архитектуре
Художники и архитекторы также часто используют квадратную форму в своих работах:
- Картина «Черный квадрат» Казимира Малевича
- Архитектурный стиль «Кубизм» с прямоугольными формами
- Зиккураты – древние храмы квадратной формы в Месопотамии
Квадрат в современном искусстве
Квадрат активно используется в современном изобразительном искусстве для создания различных абстрактных композиций. Например:
- Граффити и уличное искусство с яркими квадратными элементами
- Абстрактные картины в стиле «кубизм»
- Скульптурные инсталляции из кубов и квадратов
Использование квадратных форм в ландшафтном дизайне
Форма квадрата часто применяется ландшафтными архитекторами и дизайнерами:
- Клумбы, газоны и цветники квадратной формы
- Пруды-квадраты с фонтанами посередине
- Подстриженные кустарники в форме кубов и параллелепипедов
Применение квадратов в интерьере
Дизайнеры интерьеров активно используют квадратные формы для оформления помещений:
- Ковры и плитка в виде квадратов
- Столы, зеркала, картины квадратной формы
- Декоративные подушки-кубы на диванах и креслах
Квадраты в моде и аксессуарах
Квадратная и прямоугольная формы популярны в дизайне одежды, обуви и аксессуаров:
- Сумки-кубы от известных брендов
- Пояса и шарфы с квадратным принтом
- Очки и шляпы прямоугольной формы