Ограниченная последовательность: ее числовые категории, теорема предела

Числовые последовательности - удивительный математический объект. Казалось бы, просто список чисел. Но сколько в нем таится загадок! Сегодня мы рассмотрим один любопытный вопрос: можно ли ограничить бесконечную последовательность чисел? Узнаем определения, теоремы и контрпримеры. Разберемся, ограниченна ли числовая последовательность.

1. Определение ограниченной последовательности

Формально, ограниченной сверху называют последовательность {a_n}, для которой существует число A, такое что a_n < A при всех n = 1, 2, 3, ... На числовой прямой все члены такой последовательности лежат левее точки A.

Аналогично, ограниченной снизу называют последовательность {a_n}, у которой есть число B, такое что a_n > B при всех n. Все точки последовательности на числовой прямой находятся правее точки B.

Наконец, последовательность {a_n} является просто ограниченной, если она ограничена как сверху числом A, так и снизу числом B. Геометрически все ее члены лежат внутри отрезка [B; A].

Примеры ограниченных последовательностей:

• Ряд синусов: {sin 1, sin 2, sin 3, ...}. Ограничен сверху числом 1 и снизу числом -1.
• Приближения числа √2: {1,4; 1,41; 1,414; ...}. Заключены в отрезке [1; 2].
• Геометрическая прогрессия {1/2, 1/4, 1/8, ...}. Стремится к 0, значит ограничена.

2. Критерии ограниченности

Существуют простые критерии, позволяющие судить об ограниченности последовательности, не выписывая явно ее предельные числа A и B.

Так, монотонные последовательности, то есть не возрастающие или не убывающие, всегда являются ограниченными. Действительно, у невозрастающей {а_n} каждый член не больше первого а₁. Значит, она ограничена сверху числом а₁. Аналогично, у неубывающей последовательности есть нижняя граница.

Еще одно простое достаточное условие - если существует конечный предел {а_n}, то последовательность ограничена. В самом деле, все члены последовательности лежат около одной точки, соответствующей пределу.

Обратно, если последовательность ограничена, то:

1. У нее обязательно есть сходящаяся подпоследовательность
2. Она имеет верхний и нижний предел

То есть наличие предельной точки или хотя бы одной сходящейся подпоследовательности - необходимые условия ограниченности.

3. Свойства ограниченных последовательностей

Докажем одну важную теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности. Пусть {а_n} монотонна и ограничена. Тогда она обязательно сходится!

Действительно, возьмем произвольное ε > 0. Невозрастающая последовательность имеет нижнюю границу B. Значит, начиная с некоторого номера k все члены а_n лежат в интервале (B - ε; B). То есть {а_n} фундаментальна, а по теореме Коши фундаментальная ограниченная последовательность сходится. Аналогично для невозрастающей последовательности.

Как следствие, из ограниченной последовательности {а_n} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {а_nk}. Например, для этого достаточно взять монотонную подпоследовательность.

Благодаря таким свойствам, ограниченные последовательности находят широкое применение в математическом анализе. Они позволяют доказывать теоремы о существовании предела, сходимости интегралов и так далее.

4. Неограниченные последовательности

Неограниченными называют последовательности, которые не ограничены ни сверху, ни снизу. Формально, для любых чисел C и D в неограниченной последовательности найдется член, превосходящий C или меньший D.

Классические примеры:

• Степени двойки: {1, 2, 4, 8, 16, ...}. Растут быстрее любого C.
• Гармонический ряд: {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}. Стремится к нулю, но медленнее любого D > 0.

Понятно, что любая неограниченная последовательность не является сходящейся. Однако у нее всегда найдутся сходящиеся подпоследовательности. Например, в гармоническом ряду можно взять члены с нечетными номерами.

Критерии неограниченности:

1. Последовательность не имеет конечного предела
2. Хотя бы одна из подпоследовательностей неограниченна

Неограниченные последовательности часто возникают в теории чисел, математическом анализе, комбинаторике:

5. Проблемы бесконечных последовательностей

До сих пор мы говорили об ограниченности отдельно взятой бесконечной последовательности. Но что если попытаться "ограничить бесконечность" в целом?

Возникает любопытный парадокс. Рассмотрим множество ВСЕХ бесконечных числовых последовательностей. С одной стороны, любая конкретная последовательность из этого множества может быть как ограничена, так и нет. Но с другой стороны, само множество явно не ограничено!

6. Бесконечность бесконечностей

Дело в том, что существует бесконечно много разных бесконечных последовательностей. Действительно, для любого натурального N можно задать последовательность {a_n}, где a₁ = N. Это уже дает нам бесконечное количество последовательностей.

А теперь представим, что мы каким-то образом "ограничили" это множество, скажем, интервалом [0; 100]. Тогда для любого числа C в этом интервале найдется последовательность {a_n = C}. Значит, на самом деле множество не ограничено!

7. Бестолковые последовательности

Можно построить и более экзотические контрпримеры неограниченности множества всех последовательностей.

Например, рассмотрим "бестолковую последовательность" {b_n}, где:

• b₁ = 1
• b₂ = 2
• b₃ = 3
• ...

То есть последовательность состоит из всех натуральных чисел. Очевидно, эта последовательность не ограничена никаким числом. А теперь мысленно добавим ее в наше "ограниченное" множество. Получится противоречие!

8. Невычислимые функции

Еще один контрпример - последовательности значений невычислимых функций. Такие функции могут принимать любые мыслимые и немыслимые значения, не подчиняясь никакой закономерности.

Значит, последовательность значений невычислимой функции для натуральных аргументов тоже может быть абсолютно "безумной" и не ограниченной ничем.