Раскрытие видов неопределенностей — все, что нужно знать

Неопределенности часто возникают при выычслении пределов функций. Их раскрытие позволяет найти истинное значение предела. В статье мы подробно разберем основные виды неопределенностей, приведем примеры их возникновения и рассмотрим все способы раскрытия, чтобы вы смогли легко справляться с ними на практике.

1. Основные виды неопределенностей

Существует несколько основных видов неопределенностей, с которыми приходится сталкиваться при вычислении пределов:

• Неопределенность вида 0/0
• Неопределенность вида ∞/∞
• Неопределенность вида 0·∞
• Неопределенность вида ∞-∞
• Неопределенность вида 1^∞
• Неопределенность вида 0^0
• Неопределенность вида ∞^0

Рассмотрим подробнее, в каких случаях могут возникнуть данные виды неопределенностей:

1. 0/0 — возникает, когда при вычислении предела функции числитель и знаменатель одновременно обращаются в ноль. Например:

   Copy code

   limx→0 (x^2-x) / (x-x^3) = 0/0

2. ∞/∞ — когда числитель и знаменатель функции одновременно стремятся к бесконечности. Например:

   Copy code

   limx→∞ (3x^2+2x) / (x+1) = ∞/∞

3. 0·∞ — произведение нуля на бесконечность. Может возникнуть, если под знаком предела есть произведение двух функций, одна из которых стремится к нулю, а другая — к бесконечности. Например:

   Copy code

   limx→0 x·(1/x) = 0·∞

Другие виды неопределенностей возникают аналогичным образом и требуют особых методов раскрытия, о которых речь пойдет далее.

2. Способы раскрытия неопределенности 0/0

Рассмотрим основные способы раскрытия одной из наиболее часто встречающихся неопределенностей вида 0/0.

Правило Лопиталя

Самым универсальным методом является правило Лопиталя. Суть его заключается в следующем:

Если limx→a f(x) / g(x) = 0/0, то limx→a f(x) / g(x) = limx→a f'(x) / g'(x)

То есть мы подставляем под знак предела не сами функции, а их производные. Это позволяет часто упростить выражение и найти предел.

Например, рассмотрим функцию:

limx→0 (x^2-x) / (x-x^3)

Применим правило Лопиталя, то есть возьмем производные числителя и знаменателя:

limx→0 (2x-1) / (1-3x^2)

Подставим x=0 и получим ответ: 1.

Таким образом удалось раскрыть неопределенность 0/0 с помощью правила Лопиталя.

Еще один пример:

limx→0 (sin x) / x => limx→0 (cos x) / 1 = 1

Разложение функций на множители

Еще один эффективный прием для раскрытия неопределенности 0/0 - разложение числителя и знаменателя исходной дроби на множители с последующим сокращением:

limx→1 (x^2 + 2x - 3) / (3x^2 - 5x + 2) = limx→1 (x - 1)(x + 3) / (x - 1)(3x - 2) = limx→1 (x + 3) / (3x - 2) = 4

Здесь мы воспользовались тем, что при x=1 числитель и знаменатель обращаются в ноль, разложили каждый из них на множители, и затем сократили общий множитель (x - 1).

Замена переменной

Раскрытие неопределенностей различных видов также может осуществляться с помощью замены переменной. Рассмотрим функцию:

limx→0 (tg 2x) / x

Производим замену переменной 2x = t. Тогда x = t/2, и исходный предел примет вид:

limt→0 (tg t) / (t/2) = limt→0 2 tg t / t

Применим теперь правило Лопиталя:

limt→0 2 / cos^2 t = 2

Ответ: 2. Как видим, благодаря замене переменной удалось привести исходную функцию к виду, удобному для применения правила Лопиталя.

Применение тригонометрических тождеств

Преобразование выражений с использованием тригонометрических тождеств также помогает раскрытию неопределенностей различных видов. Например:

limx→0 (1 - cos x) / x^2

Воспользуемся тождеством 1 - cos x = 2sin^2(x/2). Тогда предел примет вид:

limx→0 2sin^2(x/2) / x^2 = limx→0 (sin x / x)^2 = 1

Здесь мы применили известное свойство предела sinx/x при x, стремящемся к нулю. Таким образом, тригонометрические тождества также могут быть полезны для раскрытия неопределенностей.

Другие способы

Кроме вышеперечисленных, существуют и другие способы, применимые в частных случаях, такие как использование замечательных пределов, сведéние к ранее изученным пределам и т.д. На практике зачастую приходится комбинировать несколько методов для успешного раскрытия неопределенностей различных видов.

3. Способы раскрытия неопределенности ∞/∞

Рассмотрим теперь наиболее эффективные методы для раскрытия неопределенности вида ∞/∞.

Правило Лопиталя

Как и в случае с 0/0, весьма универсальным способом является правило Лопиталя. Напомним его формулировку:

Если limx→a f(x) / g(x) = ∞/∞, то limx→a f(x) / g(x) = limx→a f'(x) / g'(x)

Причем здесь мы также подставляем под знак предела производные исходных функций. Давайте посмотрим на конкретном примере:

limx→∞ (3x^2 + 2x) / (x + 1)

Применим правило Лопиталя:

limx→∞ (6x + 2) / 1 = ∞

Как видим, неопределенность ∞/∞ успешно раскрыта с помощью этого эффективного приема.

Деление на наибольшую степень

Еще один распространенный метод - деление числителя и знаменателя на переменную x в наибольшей степени. Проиллюстрируем его на примере:

limx→∞ (x^5 + 3x^2 - x) / (2x^3 + 5)

Делим числитель и знаменатель на x^5:

limx→∞ (1 + (3/x^3) - (1/x^5)) / (2/x^2 + 5/x^5) = 1

Неопределенность раскрыта, ответ - 1.

Замена переменной

Замена переменной также применима для раскрытия неопределенности ∞/∞. Рассмотрим функцию:

limx→0 (tg x) / x

Выполним замену переменной tg x = t. Тогда x = arctg t, и исходный предел преобразуется:

limt→∞ t / arctg t

Применим теперь правило Лопиталя:

limt→∞ 1 / (1 / (1 + t^2)) = 1

Итак, мы получили ответ, равный 1. Замена переменной в очередной раз помогла упростить выражение для дальнейшего раскрытия неопределенности.

Применение эквивалентных бесконечно малых

Еще один эффективный метод - использование эквивалентных бесконечно малых выражений. Рассмотрим функцию:

limx→0 (e^x - 1) / ln(1 + 2x)

Воспользуемся тем, что e^x - 1 ~ x, а ln(1 + 2x) ~ 2x. Тогда:

limx→0 x / (2x) = 1/2

Неопределенность ∞/∞ успешно раскрыта.

Другие методы

Существуют и другие частные методы, применимые для неопределенностей ∞/∞: разложение в ряды, оценка порядка роста функций и т.д. Часто необходим поиск оригинального подхода, комбинирование нескольких способов.