Формулы интегрирования: основные методы и примеры решений

Интегрирование - это одна из важнейших операций математического анализа, которая позволяет находить площади криволинейных фигур, объемы тел, вычислять различные физические величины. Однако для эффективного интегрирования функций требуется знание различных методов и формул.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование подразумевает нахождение первообразной функции (или интеграла) путем тождественных преобразований исходного выражения и применения известных свойств интеграла. Рассмотрим примеры.

Интегрирование многочленов

Для интегрирования многочленов используется свойство линейности интеграла:

∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

А также свойство интеграла от постоянного множителя:

∫ c·f(x) dx = c·∫ f(x) dx, где c - константа

Это позволяет легко интегрировать многочлены, разлагая их на сумму членов и вынося константы за знак интеграла:

• ∫ (3x² + 5x + 7) dx = 3·∫ x² dx + 5·∫ x dx + 7·∫ 1 dx = x³ + 5/2·x² + 7x + C
</ul

Интегрирование дробно-рациональных функций

Любую рациональную дробь R(x) можно разложить в сумму простейших дробей с использованием частных разложений:

R(x) = A(x)/(x-a) + B(x)/(x-a)2 + ...

Где A(x), B(x) - некоторые многочлены. После этого интегрирование сводится к табличным интегралам.

Например:

∫ (x+1)/(x2-1) dx = ∫ (1/(x-1) - 1/(x+1)) dx = ln|x-1| - ln|x+1| + C

Суть этого метода заключается в замене переменной интегрирования таким образом, чтобы интеграл приводился к табличному виду.

Подстановка Эйлера

Одной из наиболее часто используемых является подстановка Эйлера для интегрирования степенных функций. Она имеет вид:

t = xⁿ, dt = n·x^n-1·dx

Где n - некоторое целое число. Рассмотрим пример:

∫ x7·(2x + 1) dx

Применим подстановку Эйлера при n=8:

t = x⁸, dt = 8·x⁷ dx

Тогда исходный интеграл преобразуется:

∫ x7·(2x + 1) dx = 1/8 · ∫ (2t + t1/8) dt = t2/16 + t9/8/72 + C

Подставив обратно x⁸ вместо t, получим ответ.

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям выводится из тождества:

uv = u(dv) + v(du)

Применяя к нему интегрирование, получаем:

∫uv dx = u∫dv + ∫vdu

Эту формулу удобно использовать при интегрировании произведений функций, например:

∫ x·ex dx

Применяем интегрирование по частям, положив u = x, dv = e^x dx. Тогда:

du = dx, v = ∫e^x dx = e^x

Подставляя в формулу, находим:

∫x·e^x dx = x·e^x - ∫e^x dx = x·e^x - e^x + C

Аналогично этот метод позволяет интегрировать произведения тригонометрических и других функций.

Численные методы интегрирования

Когда не удается найти интеграл аналитически, используют приближенные формулы численного интегрирования, например формулы

Формула трапеций

Одним из простейших методов численного интегрирования является формула трапеций. Суть ее состоит в том, что подынтегральную кривую заменяют ломаной, соединяющей точки с координатами x0, x1,..., xn, а площадь под кривой приближают площадью трапеции. Математически это выражается формулой:

I = (h/2)·[y0 + 2·y1 + ... + 2·yn-1 + yn]

Где h - шаг интегрирования (расстояние между соседними точками), а y0, ..., yn - значения функции в этих точках.

Формула Симпсона

Более точный результат дает формула Симпсона, в которой под кривой также строится ломаная, но avec расстоянием между узлами h/2. Формула имеет вид:

I = (h/3)·[y0 + 4·y1 + 2·y2 + 4·y3 + ... + 2·yn-2 + 4·yn-1 + yn]

Погрешность этого метода ∼h⁴, что лучше, чем для трапеций.

Квадратурные формулы Гаусса

Еще более высокую точность дают квадратурные формулы Гаусса, где используются не равноотстоящие узлы интегрирования, а специальным образом подобранные. Например, для 2 узлов имеем:

I ≈ (h/2)[f(x1) + f(x2)]

где x1 = -0.577, x2 = 0.577 - корни многочлена Лежандра.

Выбор метода интегрирования

При выборе конкретного метода численного интегрирования необходимо учитывать следующие факторы:

• Характер интегрируемой функции
• Требуемая точность
• Время счета
• Наличие программ реализации метода

Для быстрого получения приближенного результата чаще используют метод трапеций и формулу Симпсона. А для повышения точности применяют квадратуру Гаусса.

Реализация в пакетах компьютерной математики

Все рассмотренные формулы численного интегрирования реализованы в таких пакетах, как Mathematica, Maple, Matlab. Это позволяет легко получать численное решение в сложных случаях, когда аналитически интеграл найти не удается.

Вычисление площадей криволинейных фигур

Одно из основных применений интегрального исчисления - это вычисление площадей криволинейных фигур, ограниченных заданными кривыми. Рассмотрим несколько примеров.

Пусть требуется найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x², прямой x = 2 и осью OX. Тогда по формуле для вычисления определенного интеграла:

S = ∫ab f(x) dx

в данном случае пределы интегрирования a = 0, b = 2, а f(x) = x². Подставляя, получим:

S = ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 4/3

Вычисление объемов тел вращения

С помощью интеграла можно вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси. Формула имеет вид:

V = π ∫ab f(x)2 dx

Например, чтобы найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX параболического сегмента y = x², заключенного между осью и прямой x = 2, вычислим интеграл:

V = π ∫₀² x⁴ dx = π[x⁵/5]₀² = 32π/5

Вычисление физических величин

Интегралы используются для вычисления различных физических величин - работы силы, статистического момента, массы неоднородного стержня и многого другого. Рассмотрим пример.

Пусть на участке [0, 5] к телу приложена переменная сила F(x) = 2x Н. Требуется найти работу этой силы. По формуле:

A = ∫ F(x) dx

Подставляя числовые значения, получим:

A = ∫₀⁵ 2x dx = [x²]₀⁵ = 50 Дж

Приложения интегралов в экономике

Интегральное исчисление находит широкое применение в экономических расчетах и моделировании. Рассмотрим несколько примеров.

Допустим, спрос на некоторый товар описывается функцией Q = 100 - 2P, где Q - величина спроса, P - цена товара. Требуется определить выручку при цене товара от 0 до 50 ден. ед.

Выручка равна произведению цены на величину спроса. Тогда по формуле для определенного интеграла:

R = ∫ab P·Q dx

где пределы интегрирования [a, b] соответствуют диапазону изменения цен от 0 до 50. Подставляя значения функции спроса, получим:

R = ∫₀⁵⁰ P·(100 - 2P) dP = 2500

Применение в теории вероятностей

Пусть на отрезке [0, 10] задана плотность вероятности случайной величины X: f(x) = k·x, 0 ≤ x ≤ 10. Требуется найти коэффициент нормировки k из условия:

∫₀¹⁰ f(x) dx = 1

Подставляя функцию плотности и вычисляя интеграл, получим:

∫₀¹⁰ k·x dx = k·[x²/2]₀¹⁰ = k·50 = 1

Откуда находим k = 1/50.

Таким образом, с помощью интеграла можно находить вероятности событий, математические ожидания, дисперсии случайных величин в теории вероятностей.