Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Признаки параллельности и перпендикулярности

Задачи на взаимное расположение двух плоскостей в пространстве относятся к одним из самых сложных в стереометрии. Но если разобраться в основных понятиях, определениях и признаках, то решение таких задач становится вполне посильным.

Основные понятия

Для начала дадим определения основным геометрическим объектам:

• Плоскость - геометрическое пространство с двумя измерениями (длиной и шириной), не имеет высоты или глубины.
• Прямая - геометрическое пространство с одним измерением (длиной), не имеет ширины или высоты.
• Точка - геометрический объект, не имеющий размеров.

Теперь рассмотрим взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Оно может быть следующих типов:

1. Плоскости параллельны - не имеют общих точек, расстояние между ними постоянно.
2. Плоскости перпендикулярны - угол между ними равен 90 градусов.
3. Плоскости пересекаются - имеют общую точку или прямую.

Для определения типа взаимного расположения используются признаки параллельности и перпендикулярности плоскостей. Рассмотрим их подробнее.

Признаки параллельности плоскостей

Существует два основных признака, по которым можно определить, что две плоскости являются параллельными:

1. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

   Copy code

   Формально:

   α ∥ β ⇔ (a ∈ α) ∩ (b ∈ α) ∩ (a || c) ∩ (b || d) ∩ (c ∈ β) ∩ (d ∈ β)

2. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости обе параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

   Copy code

   Формально:

   α ∥ β ⇔ (a ∈ α) ∩ (b ∈ α) ∩ (a || β) ∩ (b || β)

Эти признаки можно строго математически доказать. Но на практике чаще используют более простые геометрические доказательства с помощью рисунков.

Например, пусть имеются две плоскости α и β, пересекающиеся прямые a и b плоскости α, параллельные им соответственно прямые c и d плоскости β:

Проведем доказательство первого признака от противного. Предположим, что плоскости α и β пересекаются в прямой l. Тогда в плоскости α оказываются две параллельные прямой l (прямые a и b). Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, предположение неверно и плоскости α и β параллельны.

Перпендикулярность плоскостей

Взаимное расположение плоскостей может быть не только параллельным, но и перпендикулярным. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Для практических расчетов используется следующий признак перпендикулярности:

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

То есть если имеется прямая a, перпендикулярная плоскости α, и через эту прямую проходит другая плоскость β, то плоскости α и β будут взаимно перпендикулярны.

Вычисление углов между плоскостями

При пересечении двух плоскостей образуется четырехугольник, стороны которого называются двугранными углами. Углом между плоскостями является наименьший из этих углов.

Для вычисления величины двугранного угла используют соответствующий ему линейный угол. Алгоритм следующий:

1. Выбрать на ребре двугранного угла (линии пересечения плоскостей) некоторую точку.
2. Из этой точки опустить перпендикуляры на каждую из двух плоскостей.
3. Затем вычислить угол между этими перпендикулярами (линейный угол).

Величина линейного угла будет равна искомому двугранному углу между плоскостями в пространстве.

Решение задач на взаимное расположение плоскостей

Для решения задач по данной теме можно использовать различные методы и подходы:

• Геометрические построения с использованием чертежей, рисунков.
• Аналитический метод координат.
• Векторно-координатный метод.
• Построение моделей из подручных материалов (листы бумаги, карандаши и т.д.).

На практике удобнее сочетать несколько методов, в зависимости от конкретных данных в условии задачи. Это позволяет получить наиболее простое и наглядное решение.

Примеры типовых задач

Рассмотрим несколько примеров с пошаговым решением задач на определение взаимного расположения и вычисление углов между плоскостями в различных геометрических фигурах - кубе, призме, пирамиде.