Вертикальные углы - это что такое: определение и основные свойства

Вертикальные углы - одно из фундаментальных понятий геометрии. Но далеко не каждый знает, что такое вертикальные углы, каковы их основные свойства и где они применяются на практике. Давайте разберемся!

Что такое вертикальные углы: определение

Формально, вертикальными углами называются пара углов, лежащих по разные стороны от общей стороны и имеющих общую вершину. Их также можно описать как углы, образующиеся при пересечении двух прямых и расположенные друг напротив друга.

Проще говоря, вертикальные углы - это углы, которые находятся напротив друг друга при пересечении двух прямых. Располагаются они симметрично относительно точки пересечения этих прямых.

Вертикальные углы можно представить как "соседей через стенку на разных этажах одного дома"

Вертикальные углы часто путают со смежными углами. Но есть принципиальное отличие: смежные углы всегда располагаются на одной прямой, а вертикальные - на разных "сторонах" от точки пересечения двух прямых.

На чертеже вертикальные углы можно определить так:

• Найти точку пересечения двух прямых
• Построить все 4 угла с общей вершиной в этой точке
• Рассмотреть углы попарно - они и будут вертикальными

Основные свойства вертикальных углов

К основным свойствам вертикальных углов относят:

1. Равенство вертикальных углов
2. Сумма вертикальных углов равна развернутому углу (180 градусов)
3. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой

Рассмотрим эти свойства подробнее.

Свойство 1. Вертикальные углы равны

Это основополагающее свойство вертикальных углов:

Вертикальные углы обязательно равны между собой

Например, если при пересечении двух прямых образовались углы в 45 и 35 градусов, они не могут быть вертикальными. А если углы 60 и 60 градусов - они вертикальные.

Формальное доказательство этого утверждения опирается на теорему о сумме смежных углов:

Как видно из чертежа, вертикальные углы имеют общий смежный угол. Следовательно, они равны.

Свойство 2. Сумма вертикальных углов равна 180 градусов

Если сложить градусные меры двух вертикальных углов, то в сумме получится 180 градусов - развернутый угол.

Это можно объяснить тем, что вертикальные углы - это "смежные углы на разных этажах". А сумма смежных углов как раз и равна 180 градусам.

Такое свойство вертикальных углов часто используется при решении задач на вычисление углов.

Свойство 3. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой

Биссектриса угла - это луч, делящий угол пополам. И в случае с вертикальными углами их биссектрисы обязательно будут лежать на одной прямой.

Это можно доказать, используя равенство вертикальных углов. Раз вертикальные углы равны, то и половины этих углов (обозначенные на рисунке как α) будут равны. А раз так, то точки L, O и M лежат на одной прямой.

Построение вертикальных углов на чертеже

Чтобы построить вертикальные углы на чертеже, нужно:

1. Начертить две пересекающиеся прямые
2. В точке их пересечения построить все 4 угла
3. Рассмотреть эти углы попарно - каждая пара и будет вертикальными углами

При этом важно не перепутать вертикальные углы со смежными. Вертикальные углы расположены друг напротив друга, а смежные - рядом.

Рекомендации при построении вертикальных углов

Чтобы избежать ошибок при построении вертикальных углов на чертеже, рекомендуется:

• Сначала найти точку пересечения двух прямых
• Затем последовательно обозначить все 4 угла в этой точке
• Проверить, что углы одной пары действительно являются продолжением друг друга

Применение вертикальных углов на практике

Несмотря на кажущуюся абстрактность, вертикальные углы часто применяются на практике. Рассмотрим основные варианты.

Благодаря свойству равенства, зная величину одного вертикального угла, можно легко найти другой:

Здесь, зная, что ∠AOE=40°, мы можем вычислить ∠COD как вертикальный ему: ∠COD тоже будет равен 40°.

Перпендикулярные прямые через вертикальные углы

Еще одно применение вертикальных углов - построение перпендикулярных прямых. Если одна из прямых уже начерчена, а вторую нужно провести к ней перпендикулярно.

Еще одно применение вертикальных углов - построение перпендикулярных прямых. Если одна из прямых уже начерчена, а вторую нужно провести к ней перпендикулярно, то можно воспользоваться вертикальными углами.

1. В произвольной точке первой прямой построить любой острый или тупой угол
2. Построить вертикальный этому углу угол
3. Провести вторую прямую через второй угол

Так как вертикальные углы равны, а острый + тупой = 90°, то полученные прямые будут взаимно перпендикулярны.

Деление отрезка пополам с помощью вертикальных углов

Часто возникает необходимость разделить отрезок пополам, то есть найти его середину. Это можно сделать быстро, используя свойства вертикальных углов:

1. В начале отрезка построить произвольный острый угол
2. Провести прямую, образующую с первым углом вертикальную пару
3. Точка пересечения этой прямой с данным отрезком и есть искомая середина

Типичные ошибки при работе с вертикальными углами

Несмотря на кажущуюся простоту, при работе с вертикальными углами часто допускаются ошибки:

• Путают вертикальные углы со смежными
• Неправильно формулируют определения и теоремы
• Некорректно изображают вертикальные углы на чертежах
• Ошибаются в применении свойств вертикальных углов при решении задач

Рекомендации по предотвращению типичных ошибок

Чтобы избежать распространенных ошибок при работе с вертикальными углами, рекомендуем:

1. Заучить определения и основные теоремы
2. Отработать навыки построения вертикальных углов на практике
3. Решать как можно больше задач с применением свойств вертикальных углов
4. При возникновении сомнений обращаться к учебникам и справочным материалам

Статья дает подробное представление о вертикальных углах - что это такое, каковы основные свойства вертикальных углов и где они применяются.