Трапеция — одна из самых простых геометрических фигур. У нее четыре стороны, причем две из них параллельны — это основания трапеции. Но если описать трапецию вокруг окружности, то ее свойства кардинально меняются. Давайте разберемся, что же происходит с трапецией при такой небольшой модификации.
Свойства трапеции, описанной около окружности
Когда трапеция описана около окружности, для нее начинают выполняться следующие удивительные свойства:
- Сумма длин оснований трапеции равна сумме длин боковых сторон.
- Выполняется теорема Птолемея: произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
- Длина средней линии трапеции равна половине суммы длин оснований.
Эти свойства позволяют гораздо легче вычислять различные параметры такой трапеции, в отличие от обычной. Например, если известны три стороны трапеции, то четвертую можно найти из первого свойства, не прибегая к построению.
Применение описанных трапеций на практике
Интересные свойства описанных около окружности трапеций находят применение в различных областях:
- В архитектуре при возведении куполов и арок
- В строительстве мостов, башен, небоскребов
- При создании сложных 3D-моделей в компьютерной графике
Задачи с использованием свойств описанных трапеций
Давайте теперь разберем несколько примеров задач, где можно успешно применить свойства трапеции, описанной около окружности:
Применение описанных трапеций в архитектуре
Рассмотрим теперь, как около окружности описана трапеция применяется на практике, в частности при строительстве арок, сводов и куполов.
| Тип трапеции | Где используется |
| Равнобедренная | При возведении арок мостов и виадуков |
| Прямоугольная | В основании куполов и сводов |
Знание свойств таких трапеций позволяет архитекторам и инженерам вести точные расчеты и проектировать надежные конструкции зданий и сооружений.
Расчеты конструкций с использованием свойств описанных трапеций
Благодаря особым свойствам, вычисление параметров конструкций, содержащих описанные трапеции, существенно упрощается. Рассмотрим пример.
Допустим, нужно вычислить нагрузку на арочный свод, который состоит из последовательности трапеций, описанных около окружностей. Зная радиусы этих окружностей и используя теорему Птолемея, можно легко найти силы в каждом сечении. А затем, просуммировав их, получить результирующую нагрузку на опоры.
Геометрическое моделирование на основе описанных трапеций
Еще одно перспективное применение — использование описанных трапеций в качестве примитивов при геометрическом моделировании. Например, можно конструировать сложные трехмерные поверхности и объекты из наборов вложенных друг в друга трапеций.
Это позволяет добиться плавных переходов между разными частями модели. Кроме того, расчеты будут происходить быстрее за счет применения особых свойств описанных трапеций.
Архитектурные конструкции на основе описанных трапеций
Как мы уже отмечали ранее, цепочки описанных трапеций широко используются при возведении арок, сводов и куполов. Какие еще интересные архитектурные решения можно реализовать на их основе?
Во-первых, это различные виды висячих и вантовых конструкций. Их можно конструировать из гибких элементов, имеющих форму описанных трапеций.
Во-вторых, перспективно создание трансформируемых конструкций, состоящих из наборов шарнирно соединенных трапеций. Изменяя их взаимное расположение, можно менять облик здания.
Описанные трапеции обеспечивают высокую прочность при относительно небольшом весе конструкции. Это связано с оптимальным распределением нагрузок при такой геометрии.
Особенности расчета прочности описанных трапеций
При расчете прочности конструкций из описанных трапеций также есть свои нюансы. Во-первых, можно использовать метод конечных элементов. Конструкция разбивается на отдельные трапеции, для которых задаются граничные условия и нагрузки.
Затем вычисляются напряжения и деформации в каждом элементе и анализируется общая картина. Благодаря простой форме, расчеты получаются быстрыми и точными.
Обеспечение сейсмостойкости на основе описанных трапеций
Еще одно достоинство таких конструкций - повышенная устойчивость к землетрясениям и другим динамическим нагрузкам. За счет высокой прочности и возможности рассеивать энергию по элементам, описанные трапеции позволяют создавать сейсмоустойчивые здания.
Особенно эффективно их применение в сейсмоопасных регионах при строительстве мостов, путепроводов, эстакад - конструкций повышенного риска.
Современные тенденции в архитектуре на основе описанных трапеций
Современные технологии открывают новые возможности для реализации нестандартных архитектурных форм с использованием описанных около окружности трапеций.
В частности аддитивные технологии (3д-печать) позволяют воплотить самые смелые проекты, которые ранее были трудноосуществимы.
