Отвечу на вопрос не откладывая - выражения эти являются синонимами, и выбор остается за тем, кто данное словосочетание использует. Никаких кардинально различных смысловых привязок в их применении нет. Однако употреблять и писать оба выражения надо, все же ориентируясь на определенные правила.
Когда уместно сказать
Говорим мы чаще, чем пишем, поэтому рассмотрим сначала аспект применения выражений "вверх дном" и "кверху дном" в разговоре.
Использовать словосочетания можно и в прямом, и в переносном смысле. Уместно сказать как о поставленном наоборот, перевернутом сосуде, емкости, предмете, так и о месте или событиях, когда привычный порядок был кардинально нарушен, обычный уклад полностью изменился, какое-либо пространство или территория находятся в состоянии хаоса, сильного бардака.
Пример прямого значения выражений:
У крыльца, вдоль стены, лежит кверху дном лодка, занесенная снегом. И почти каждый вечер перед прощанием фельдшер говорит...
Куприн А. И., Мелюзга, 1907
— Ну да, — с вашей точки, люди или подлецы или дураки, — благодушным тоном сказал Ногайцев, но желтые глаза его фосфорически вспыхнули, и борода на скулах ощетинилась. К нему подкатился Дронов с бутылкой в руке, на горлышке бутылки вверх дном торчал и позванивал стакан.
Горький Максим, Жизнь Клима Самгина, 1936
В переносном смысле это может выглядеть так:
— Поправимся?! Нет, я тебя сначала убью… жилы из тебя вытяну!! Одно только лето не приехал на прииски, и все пошло кверху дном. А теперь последние деньги захватил Работкин и скрылся… Боже мой!! Завтра же еду и всех вас переберу… Ничего не делали, пьянствовали, безобразничали!! На кого же мне положиться?!
Мамин-Сибиряк Д. Н., Приваловские миллионы, 1883
— А плохо, Михей Зотыч. Как попадья померла, так и пошло все вверх дном. Теперь вон голод… При попадье-то о голоде и не слыхивали, а как она померла…
Мамин-Сибиряк Д. Н., Хлеб, 1895
Верное написание
Состоят оба словосочетания из двух компонентов: первого - наречия ("вверх", "кверху") и второго - имени существительного в творительном падеже ("дном").
Если говорящий или пишущий хочет использовать какой-либо вариант устойчивого выражения и придает ему любое из двух указанных выше значений (прямое или переносное), то он применит наречие, которое должно употребляться только слитно (предлог "в" или "к" со словом "верх" обязательно соединены).
В предложении данные словосочетания занимают место несогласованного определения.
Но не следует распространять правило на все случаи и забывать, что существительное "верх" с теми же предлогами может быть использовано раздельно - это касается упоминания направления движения к части объекта, например "идти к верху холма", "целиться в верх смотровой башни". Обычно такие словосочетания отвечают на вопросы "во что?" и "куда?".
Где уместно
Так как оба высказывания относятся к выражениям разговорным, употреблять их следует в соответствующем контексте - частных беседах, обсуждениях или описаниях бытовых сцен, событий и т. п.
Применение в официальных документах, устных докладах, научных работах неприемлемо.
