Боковая поверхность конуса обычного и усеченного. Формулы и пример решения задачи

При рассмотрении фигур в пространстве часто возникают проблемы определения их площади поверхности. Одной из таких фигур является конус. Рассмотрим в статье, что представляет собой боковая поверхность конуса с круглым основанием, а также усеченного конуса.

Конус с круглым основанием

Прежде чем переходить к рассмотрению боковой поверхности конуса, покажем, что это за фигура и как ее получить геометрическими методами.

Возьмем прямоугольный треугольник ABC, у которого AB и AC являются катетами. Поставим этот треугольник на катет AC и будем его вращать вокруг катета AB. В результате стороны AC и BC опишут две поверхности фигуры, которая показана ниже.

Полученная вращением фигура называется круглым прямым конусом. Круглый он потому, что его основание является кругом, а прямой потому, что проведенный из вершины фигуры (точка B) перпендикуляр пересекает круг в его центре. Длина этого перпендикуляра называется высотой. Очевидно, что она равна катету AB. Высоту принято обозначать буквой h.

Помимо высоты, рассматриваемый конус описывается еще двумя линейными характеристиками:

• образующая, или генератриса (гипотенуза BC);
• радиус основания (катет AC).

Радиус обозначим буквой r, а генератрису - g. Тогда, принимая во внимание теорему Пифагора, можно записать важное для рассматриваемой фигуры равенство:

g² = h² + r²

Коническая поверхность

Совокупность всех генератрис образует коническую или боковую поверхность конуса. По внешнему виду ее трудно сказать, какой плоской фигуре она соответствует. Последнее важно знать при определении площади конической поверхности. Для решения этой проблемы используют метод развертки. Он заключается в следующем: вдоль произвольной генератрисы мысленно разрезают поверхность, а затем разворачивают ее на плоскости. При таком способе получения развертки образуется приведенная ниже плоская фигура.

Как можно догадаться, круг соответствует основанию, а вот круговой сектор - это коническая поверхность, площадь которой нас интересует. Сектор ограничен двумя генератрисами и дугой. Длина последней точно равна периметру (длине) окружности основания. Эти характеристики однозначно определяют все свойства кругового сектора. Мы не будем приводить промежуточные математические выкладки, а запишем сразу конечную формулу, пользуясь которой можно вычислить площадь боковой поверхности конуса. Формула имеет вид:

S_b = pi*g*r

Площадь конической поверхности S_b равна произведению двух параметров и числа Пи.

Усеченный конус и его поверхность

Если взять обычный конус и параллельной плоскостью отсечь у него верхушку, то оставшаяся фигура будет представлять усеченный конус. Его боковая поверхность ограничена двумя круглыми основаниями. Обозначим их радиусы как R и r. Высоту фигуры обозначим h, а генератрису - g. Ниже показана развертка из бумаги для этой фигуры.

Видно, что боковая поверхность уже не является круговым сектором, она меньше по площади, поскольку от нее отрезали центральную часть. Развертка ограничена четырьмя линиями, две из них - это прямые отрезки-генератрисы, две другие - это дуги с длинами соответствующих окружностей оснований конуса усеченного.

Боковая поверхность S_b рассчитывается так:

S_b = pi*g*(r + R)

Генератриса, радиусы и высота связаны между собой следующим равенством:

g² = h² + (R - r)²

Задача с равенством площадей фигур

Дан конус, у которого высота равна 20 см, а радиус основания составляет 8 см. Необходимо найти высоту усеченного конуса, боковая поверхность которого будет иметь ту же площадь, что у данного конуса. Усеченная фигура построена на том же основании, а радиус верхнего основания равен 3 см.

В первую очередь запишем условие равенства площадей конуса и усеченной фигуры. Имеем:

S_b1 = S_b2 =>

pi*g₁*R = pi*g₂*(r + R)

Теперь запишем выражения для генератрис каждой фигуры:

g₁ = √(R² + h₁²);

g₂ = √((R-r)² + h₂²)

Подставим g₁ и g₂ в формулу для равенства площадей и возведем в квадрат левую и правую части, получим:

R²*(R² + h₁²) = ((R-r)² + h₂²)*(r + R)²

Откуда получаем выражение для h₂:

h₂ = √(R²*(R² + h₁²)/(r + R)² - (R - r)²)

Не будем упрощать это равенство, а просто подставим известные из условия данные:

h₂ = √(8²*(8² + 20 ²)/(3 + 8)² - (8 - 3)²) ≈ 14,85 см

Таким образом, чтобы были равны площади боковых поверхностей фигур, усеченный конус должен иметь параметры: R = 8 см, r = 3 см, h₂ ≈ 14,85 см.