Разложение квадратного трехчлена на множители

Изучению полинома второй степени уделено много внимания в курсе алгебры восьмого класса. Если этот материал усвоен школьником плохо, то неизбежны проблемы на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ, как профильного уровня, так и базы. К обязательным навыкам, связанным с квадратичными функциями, относится построение и анализ графиков, решение уравнений.

Разложение квадратного трехчлена на множители - одна из стандартных школьных задач. Она является вспомогательной при решении неравенства методом интервалов.

Нахождение корней уравнения

Первое, что необходимо для разложения полинома на множители, - отыскать его корни.

Корни - числа, которые обращают сумму мономов в составе многочлена в ноль, что графически выглядит как пересечение с горизонтальной осью. Они определяются с помощью дискриминанта или теоремы Виета.

Дискриминант трехчлена ax² + bx + c вычисляется по формуле: D = b^2т- 4ac.

В случае, когда дискриминант не отрицателен, корни выражаются через него и коэффициенты полинома:

х₁ = 1/2(-b + √D); x₂ = 1/2(-b - √D)

Если дискриминант равен нулю, х₁ и х₂ совпадают.

Для решения некоторых трехчленов удобно пользоваться теоремой Виета:

х₁ + х₂ = -b : a; x₁ × x₂ = c : a

Требуется определенная математическая интуиция для применения теоремы. Суть заключается в том, чтобы, зная сумму и произведение двух неизвестных, подобрать эти числа. Если они существуют, то находятся единственным образом (с точностью до перестановки).

Убедиться в справедливости теоремы можно, вычислив сумму и произведение корней в общем виде. Формулы для x₁ и x₂ также проверяются непосредственной подстановкой.

Правило разложения на множители

Задача решаема в вещественных числах в том случае, если у многочлена есть корни. Разложение определяется формулой:

ax² + bx + c = а(х - х₁)(х - х₂)

Примеры

Задача: найдите разложение на множители квадратных трехчленов.

а) х² - 6х + 5

Решение: выпишем коэффициенты трехчлена:

а = 1; b = -6; с = 5.

Используем теорему Виета:

х₁ + х₂ = 6;

х₁ × х₂ = 5.

Видно, что х₁ = 1, х₂ = 5.

Если по выписанным равенствам теоремы не удается быстро найти корни, стоит сразу перейти к вычислению дискриминанта.

После того как корни найдены, нужно подставить их в формулу для разложения:

х² - 6х + 5 = (х - 1)(х - 5)

Результат, записанный в таком виде, можно считать окончательным.

б) 2х² + х - 1

Решение:

а = 2, b = 1, с = -1.

Если старший коэффициент отличен от 1, применение теоремы Виета обычно требует больше времени, чем решение через дискриминант, поэтому перейдем к его вычислению.

D = 1 - 4 × 2 × (-1) = 9.

x₁ = 1/2; х₂ = -1.

По формуле получается:

2х² + х - 1 = 2(х - 1/2)(х + 1).

в)х² - 8х + 16

Решение:

а = 1; b = -8; с = 16.

D = 0.

Так как дискриминант равен нулю, имеем случай совпадения корней:

х₁ = х₂ = 4.

Данная ситуация, однако, принципиально не отличается от рассмотренных ранее.

х² - 8х + 16 = 1(х - 4)(х - 4)

Результат чаще записывают в виде: (х - 4)².

г)х² - 7х + 1

Решение:

а = 1; b = -7; с = 1.

D = 45.

Приведенный пример отличается от предыдущих тем, что из дискриминанта нельзя извлечь рациональный корень. Значит, и корни полинома являются иррациональными.

х₁ = -1/2(7 + √45); х₂ = -1/2(7 - √45).

Или, что то же самое,

х₁ = -3,5 - 1/2√45; х₂ = -3,5 + 1/2√45.

Последний вариант удобнее использовать для записи разложения. Опустив старший коэффициент, равный здесь 1, получим:

х² - 7х + 1 = (х + 3,5 + 1/2√45)(х + 3,5 - 1/2√45)

Для случая, когда дискриминант отрицателен, в рамках школьной программы достаточно следующего ответа: трехчлен не имеет корней и, следовательно, не раскладывается на множители. Такие трехчлены еще называют неприводимыми. Важно понимать, что речь идет лишь о наличии либо отсутствии действительных корней.

Если же рассматривается поле комплексных чисел, разложение квадратного трехчлена на множители возможно при любом дискриминанте.

Типичные ошибки

1) Многие в самом начале изучения многочлена неверно выписывают коэффициенты, например обращают внимание на порядок следования мономов в записи.

Так, старший коэффициент a в уравнении 101 - 79x + 38x² равен 38, а не 101, как можно было бы подумать.

Еще одной ошибкой, связанной с коэффициентами уравнения, является так называемая "потеря знака". В этом же примере коэффициент b = -79, а не 79.

2) Привыкая использовать теорему Виета для случая, когда a = 1, школьники порой забывают об ее полной формулировке. В полиноме из первого пункта неправильно считать, что сумма корней равна 79, поскольку первый коэффициент отличен от 1.

3) Вычислительные ошибки - наиболее распространенная проблема учеников. Избежать их во многих случаях помогает проверка подстановкой.

Полиномы третьей степени и выше

Полиномы более высокой степени в школе рассматривают редко, поскольку задача нахождения корней для многочленов третьей степени и выше является трудоемкой. Существуют алгоритмы высокой вычислительной сложности для разложения полинома третьей и четвертой степени. Для пятой степени и выше доказана теорема о неразрешимости уравнения в радикалах в общем виде.

Частные случаи этих многочленов, которые могут быть рассмотрены в старших классах, характеризуются наличием рациональных легко подбирающихся корней. Количество последних не может превышать степень полинома. При работе с комплексной плоскостью их число в точности совпадает со старшей степенью.

Многочлены нечетной степени всегда имеют хотя бы один действительный корень. Это легко показать графически - непрерывная функция, заданная таким полиномом, имеет как положительные, так и отрицательные значения, а значит, проходит через 0.

Все корни двух многочленов совпадают тогда и только тогда, когда их коэффициенты пропорциональны.

В целом задачу о поиске корней и задачу построения разложения можно считать эквивалентными.