Теорема Виета - один из самых полезных инструментов при решении квадратных уравнений. Она позволяет быстро находить корни, не прибегая к длинным вычислениям. В этой статье мы разберем, как применять теорему Виета на практике, используя простой и понятный алгоритм.
Что такое теорема Виета и как она работает
Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения вида:
x2 + px + q = 0
Формулировка теоремы такова:
Сумма корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком.
Произведение корней равно коэффициенту q.
Например, для уравнения:
x2 - 5x + 6 = 0
По теореме Виета:
- Сумма корней = 5
- Произведение корней = 6
Таким образом, зная только коэффициенты уравнения, можно найти полезную информацию о его корнях. Это позволяет значительно упростить процесс решения.
Шаг 1: Проверка возможности применения теоремы Виета
Прежде чем использовать теорему Виета, нужно убедиться, что она применима к данному уравнению. Для этого следует:
- Проверить, является ли уравнение квадратным. Оно должно иметь вид: x2 + px + q = 0
- Убедиться, что коэффициент при x2 равен 1. В противном случае уравнение нужно привести к такому виду.
- Вычислить дискриминант D = p2 - 4q. Если D > 0, уравнение имеет 2 корня.
Например, проверим уравнение:
2x2 - 7x + 3 = 0
- Это квадратное уравнение
- Коэффициент при x2 не равен 1. Делим обе части на 2: x2 - 7/2x + 3/2 = 0
- D = (-7/2)2 - 4*3/2 = 24.5 > 0
Значит, к данному уравнению после приведения можно применить теорему Виета.
Шаг 2: Запись теоремы Виета для уравнения
После того как мы убедились, что теорема Виета применима, можно переходить к ее использованию. Нужно:
- Записать исходное квадратное уравнение в виде: x2 + px + q = 0
- Записать утверждения теоремы Виета:
- Сумма корней = -p Произведение корней = q
Для примера выше получаем:
x2 - 7/2x + 3/2 = 0
Сумма корней = 7/2 Произведение корней = 3/2
Теперь, зная сумму и произведение корней, можно перейти к их нахождению.
Шаг 3: Подбор корней по теореме Виета
Существует несколько способов нахождения корней уравнения по теореме Виета.
Способ 1. Перебор вариантов
Подбираются различные целочисленные значения, удовлетворяющие условиям теоремы. Как только найдена подходящая пара чисел, она и будет искомыми корнями.
Например, для уравнения выше перебираем:
| Корень 1 | Корень 2 | Сумма | Произведение |
| 1 | 3 | 4 | 3 |
| 2 | 2 | 4 | 4 |
| 3 | 1 | 4 | 3 |
Видим, что корни 3 и 1 удовлетворяют условиям. Значит, ответ: x1 = 3, x2 = 1.
Способ 2. Разложение произведения корней на множители
Произведение корней разлагается на два множителя, которые и будут искомыми корнями. Условие суммы при этом соблюдается автоматически.
Для того же примера:
Произведение корней = 3/2. Разлагаем 3/2 на множители: 3/2 = 3 * 1/2. Получаем корни x1 = 3, x2 = 1/2.
Способ 3. Использование разности корней
Если сумма корней получилась отрицательной, это означает, что корни имеют разные знаки. Тогда вместо суммы используется разность корней.
Например, для уравнения:
x2 + 5x - 6 = 0
Сумма корней = -5 (отрицательная)
Произведение корней = -6
Значит, один корень положительный, а другой отрицательный. Разность корней = 5. Подбираем: 6 и -1. Ответ: x1 = 6, x2 = -1.
Способ 4. Использование теоремы, обратной теореме Виета
Эта теорема позволяет проверить, являются ли найденные числа корнями уравнения:
Если числа a и b удовлетворяют условиям: a + b = -p a * b = q то они являются корнями уравнения x2 + px + q = 0
Таким образом, сначала находим числа, удовлетворяющие этим условиям, а затем проверяем их подстановкой в уравнение.
Для уравнения x2 - 7x + 12 = 0:
Находим числа, для которых выполняется: a + b = 7 a * b = 12
Подходящие числа: a = 4, b = 3. Подставляем их в уравнение: (4)2 - 7*4 + 12 = 0 (3)2 - 7*3 + 12 = 0 Убеждаемся, что 4 и 3 - корни уравнения.
Таким образом, используя разные способы, можно находить корни уравнения по теореме Виета.
Шаг 4: Проверка найденных корней
Чтобы убедиться в правильности найденных по теореме Виета корней, используются следующие способы.
Подстановка корней в исходное уравнение
Каждый найденный корень по отдельности подставляется в исходное уравнение. Если при подстановке левая часть обращается в ноль, значит, корень верный.
Например, для уравнения x2 - 5x + 6 = 0 и корней x1 = 3, x2 = 2 проверяем:
(3)2 - 5*3 + 6 = 0, верно. (2)2 - 5*2 + 6 = 0, верно.
Значит, корни найдены верно.
Проверка системой неравенств
Строится система из двух неравенств:
x1 < x < x2 x2 < x < x1
Если хотя бы для одного неравенства выполняется условие истинности, значит корни верны.
Для тех же корней проверяем:
2 < x < 3 - истинно. 3 < x < 2 - ложно.
Первое неравенство выполняется, следовательно, корни верны.
Таким образом, проверка корней - важный этап в решении уравнений по теореме Виета. Это позволяет избежать ошибок на заключительном шаге.
Применение теоремы Виета для решения прикладных задач
Теорема Виета может использоваться не только для нахождения корней абстрактных квадратных уравнений. Она позволяет также решать прикладные задачи из различных областей знаний, которые в конечном итоге сводятся к квадратным уравнениям.
Задачи из физики
Рассмотрим классическую задачу по физике. Тело брошено под углом α к горизонту. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Из курса физики известны формулы:
- v0y = v0sinα - начальная вертикальная скорость;
- hmax = (v0y)2/2g - максимальная высота подъема.
Подставляя одну формулу в другую, получаем квадратное уравнение:
hmax = (v0sinα)2/2g
Далее применяем теорему Виета. Пусть v0 = 10 м/с, α = 30°, g = 10 м/с2. Тогда:
hmax = (10*sin30°)2/2*10 = 25/2 = 12,5 м
Ответ: 12,5 м.
Задачи из химии
В химии теорема Виета позволяет находить количество вещества реагентов по известной массе продукта реакции. Рассмотрим пример.
При взаимодействии оксида меди(II) CuO с соляной кислотой HCl образуется хлорид меди(II) CuCl2 и вода H2O. Найти количество вещества HCl, если образовалось 5 моль CuCl2.
Составляем уравнение реакции:
CuO + 2HCl = CuCl2 + H2O
По количеству вещества CuCl2 = 5 моль составляем пропорцию:
1 моль CuO : 2 моль HCl = 5 моль CuCl2 : x моль HCl
Преобразуем ее к виду квадратного уравнения:
2x = 10
x2 - 5x + 0 = 0
Применяем теорему Виета, находим корень x = 5 моль.
Ответ: количество вещества HCl равно 5 моль.
Задачи из экономики
Теорема Виета применима и для решения экономических задач. Например, о нахождении точки безубыточности фирмы.
Фирма выпускает N единиц продукции. Постоянные издержки составляют 20000 у.е. Переменные издержки на единицу продукции - 5 у.е. Цена за единицу - 15 у.е. Найти точку безубыточности.
Прибыль фирмы P(N) = N*15 - N*5 - 20000. Прибыль в точке безубыточности равна 0.
Приравниваем выражение для прибыли к 0, преобразуем к стандартному квадратному уравнению:
N*10 - 20000 = 0
10N - 20000 = 0
N2 - 2000N + 0 = 0
Применяем теорему Виета, находим N = 2000.
Ответ: точка безубыточности достигается при выпуске 2000 единиц продукции.
Теорема Виета для неприведенных уравнений
До сих пор мы рассматривали приведенные квадратные уравнения, где коэффициент при старшей степени x равен 1. Но теорема Виета применима и к неприведенным уравнениям вида:
ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 1
Для таких уравнений формулировка теоремы следующая:
Сумма корней = b/a Произведение корней = c/a
Рассмотрим пример неприведенного уравнения:
2x2 - 5x - 3 = 0
Записываем теорему Виета:
Сумма корней = 5/2 = 2,5
Произведение корней = -3/2
И далее решаем как обычно - подбором целых чисел, удовлетворяющих этим условиям. Получаем корни x1 = 3, x2 = -1.
Таким образом, теорема Виета позволяет решать и неприведенные квадратные уравнения.
Методы оптимизации решения уравнений по теореме Виета
Чтобы научиться быстро и правильно решать уравнения по теореме Виета, рекомендуются следующие методы оптимизации:
- Регулярные тренировки на примерах уравнений разных типов. Это поможет выработать устойчивые навыки.
- Использование специальных приемов, облегчающих подбор корней. Например, разложение произведения корней на множители.
- Поиск закономерностей между коэффициентами и корнями конкретных типов уравнений. Это позволит ускорить подбор.
- Проверка по теореме, обратной теореме Виета. Это поможет находить ошибки и исправлять их.
Следуя этим рекомендациям при регулярных тренировках, можно довести навык применения теоремы Виета до автоматизма. Это существенно упростит и ускорит решение многих задач по алгебре и другим предметам.
