Как найти квадрат числа: несколько способов

Умение находить квадраты чисел и извлекать квадратные корни пригодится для решения множества задач из математики, физики, экономики.

Что такое квадрат числа

Квадратом числа a называют произведение a на себя:

a2 = a × a

Например, квадрат числа 5 равен 5² = 5 × 5 = 25.

Квадратом называют, потому что это формула для вычисления площади квадрата со стороной a .

Примеры квадратов чисел

Рассмотрим несколько примеров квадратов целых чисел:

• 1² = 1
• 2² = 4
• 3² = 9
• 4² = 16
• 5² = 25

Последовательность квадратов натуральных чисел

Рассмотрим последовательность квадратов натуральных чисел:

1. 1² = 1
2. 2² = 4
3. 3² = 9
4. 4² = 16
5. 5² = 25
6. 6² = 36

Заметим закономерность: квадраты натуральных чисел тоже являются натуральными числами.

Это справедливо для любых положительных целых чисел. Отрицательные числа дадут интересный результат, но об этом чуть позже.

Вычисление квадратов вручную

Для небольших целых чисел найти квадрат числа можно легко в уме или с помощью калькулятора. Например, найти квадрат 7:

7² = 7 × 7 = 49

А теперь найти квадрат 23:

23² = 23 × 23 = 529

Приближенное вычисление квадратов

Для больших чисел точный расчет квадратов затруднителен. В таких случаях используют приближенные методы. Например, чтобы найти квадрат числа 1248, можно разложить его на числа попроще:

1248 ≈ 1200 = (1000 + 200)
(1000 + 200)²

Погрешность такого метода зависит от точности приближения.

Квадраты отрицательных чисел

Если найти квадраты отрицательных чисел, то получатся положительные значения. Это следует из определения:

(-3)² = (-3)·(-3) = 9

То есть знак числа теряется при возведении в квадрат.

Это важное свойство используется при решении уравнений.

Квадратные корни

Обратной операцией по отношению к возведению в квадрат является извлечение квадратного корня. Если задано некоторое число Y, то найти такое число X, что X²=Y, называется нахождением квадратного корня степени 2 из Y.

Например, квадратный корень из 9 равен 3, поскольку 3²=9. Соответственно, 9 является полным квадратом числа 3.

Извлечение корней вручную

Для небольших чисел корни можно извлекать в уме. К примеру, найти √25. Разложим число на множители: √25 = 5·5 = 5. А вот √50 уже посложнее: это число не является полным квадратом.

Иррациональные числа

Если под корнем стоит число, которое нельзя представить в виде произведения целых множителей, то такой корень называется иррациональным. Например, √2 или √3. Приближенно можно записать √2≈1,41, но точного значения в виде обычной дроби не существует.

Квадратные уравнения

Одно из важных применений квадратных корней – это решение квадратных уравнений, имеющих вид ax² + bx + c = 0. Нахождение корней таких уравнений сводится к применению формулы для нахождения корней квадратного трехчлена.

Вычисление в Python

В языках программирования, таких как Python, есть встроенные функции для работы с квадратными числами и корнями. Это позволяет быстро найти квадраты и корни чисел любой величины и точности.