Как найти предел последовательности? Алгоритм вычисления для начинающих

Вы когда-нибудь задумывались, что такое предел последовательности и зачем его находить в математике? В этой статье мы не только дадим определение предела последовательности и разберем алгоритм его вычисления, но и покажем, где в жизни пригодятся полученные знания. С помощью ярких примеров и практических советов вы научитесь с легкостью находить пределы самых сложных последовательностей.

Основные понятия теории пределов последовательностей

Числовая последовательность{xn}– это закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n ставится в соответствие число.
Число называют n-м членом или элементом последовательности.

Но для начала давайте разберемся с базовыми определениями из теории пределов последовательностей.

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность – это бесконечная упорядоченная совокупность чисел, каждый член которой однозначно определяется своим порядковым номером или индексом.

Например, последовательность чисел Фибоначчи имеет вид:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

Здесь:

  • 1 – первый член последовательности с номером n = 1;
  • 1 – второй член последовательности с номером n = 2;
  • 2 – третий член последовательности с номером n = 3 и т.д.

В общем виде числовая последовательность записывается как {an}, где an – общий член последовательности, а n – номер члена.

Другими словами числовая последовательность – это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Если последовательность {an} при увеличении номера n бесконечно приближается к некоторому числу A, то такая последовательность называется сходящейся, а число A называется пределом последовательности {an} и обозначается lim an = A.

Например, последовательность

при n, стремящемся к бесконечности, бесконечно приближается к нулю. Значит, эта последовательность сходится и ее предел равен нулю:

lim = 0 при n → ∞

Если же последовательность не имеет предельного числа, к которому бы она приближалась при увеличении номера n, то такая последовательность называется расходящейся.

Вид университетского городка сверху в солнечный осенний день. Студенты идут по alley между кирпичными зданиями.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Бесконечно большой называют последовательность, предел которой равен бесконечности:

Например:

lim n = +∞ при n → ∞

А бесконечно малой – последовательность, предел которой равен нулю:

Например:

lim = 0 при n → ∞

Монотонные и ограниченные последовательности

Монотонной называется последовательность, члены которой либо только возрастают, либо только убывают.

Например, последовательность 1, 2, 3, 4, 5, 6... – монотонно возрастающая.

А последовательность 6, 5, 4, 3, 2, 1... – монотонно убывающая.

Ограниченной последовательностью называется такая, все члены которой по абсолютной величине не превышают некоторого числа M. Например, все числа последовательности cos(n) лежат в интервале [-1; 1]. Поэтому эта последовательность ограничена числом 1.

Темная аудитория, освещенная лучами света из высоких окон. Женщина-профессор пишет мелом математические формулы на большой доске, а студенты конспектируют.

Основные теоремы о пределах последовательностей

В теории пределов последовательностей есть несколько важных утверждений, которые мы сформулируем и докажем.

Теорема о пределе суммы двух последовательностей

Теорема. Если существуют конечные пределы последовательностей {an} и {bn}:

lim an = A, lim bn = B при n → ∞

то существует и конечный предел суммы этих последовательностей:

lim (an + bn) = A + B при n → ∞

Доказательство. Пусть ε – произвольно малое положительное число. Так как пределы последовательностей {an} и {bn} существуют и конечны, то найдутся такие номера N1 и N2, что для всех n > N1 будет выполняться |an – A| < ε/2, а для всех n > N2 будет выполняться |bn – B| < ε/2.

Рассмотрим неравенство:

При n > max(N1, N2) из неравенств для |an – A| и |bn – B| получаем:

Таким образом, для любого ε > 0 найдется номер N = max(N1, N2), начиная с которого выполняется неравенство |an + bn – (A + B)| < ε, то есть lim (an + bn) = A + B.

Теорема доказана.

Алгоритм нахождения предела последовательности

Теперь, когда мы разобрались с основными понятиями и теоремами, можно сформулировать общий алгоритм нахождения предела последовательности:

  1. Разложить исходную последовательность {an} на составляющие (на отдельные слагаемые, множители, степени и т.п.).

  2. Найти предел каждой составляющей последовательности в отдельности. Здесь можно воспользоваться известными свойствами элементарных функций, правилами вычисления пределов простейших последовательностей и так далее.

  3. С учетом найденных пределов составляющих последовательностей вычислить предел исходной последовательности {an}, используя теоремы о пределах суммы, произведения и частного последовательностей.

В последующих разделах статьи мы подробно рассмотрим примеры применения данного алгоритма при вычислении конкретных пределов последовательностей.

Примеры вычисления простейших пределов последовательностей

Для наглядности и закрепления материала давайте вычислим пределы нескольких простейших последовательностей.

Пример 1. Последовательность, сходящаяся к конечному пределу

Найти предел последовательности:

Решение.

  1. Разложим исходную дробь на отдельные слагаемые:

  2. Вычислим предел каждой из полученных дробей:

    • Copy code
    • lim = 1 при n → ∞
    • lim = 0 при n → ∞
    • lim = 0 при n → ∞
  3. Применим теорему о пределе суммы:

lim an = lim + lim + lim =

= 1 + 0 + 0 = 1

Ответ: lim an = 1 при n → ∞.

Пример 2. Бесконечно большая последовательность

Найти предел последовательности:

Решение.

  1. Выражение под корнем раскладываем на множители:

  2. Находим предел каждого множителя:

lim n = +∞ при n → ∞

Применяем произведения последовательностей. Так как все множители bn являются одной и той же последовательностью n, стремящейся к бесконечности, то согласно теореме:

lim bn = (lim n)^5 = (+∞)^5 = +∞ при n → ∞

Ответ: lim bn = +∞ при n → ∞.

Пример 3. Бесконечно малая последовательность

Найти предел последовательности:

Решение.

  1. Разложим дробь на множители в числителе и знаменателе:

  2. Находим пределы:

    • Copy code
    • lim = 0 при n → ∞
    • lim = 0 при n → ∞
  3. Применяем теорему о пределе суммы:

lim cn = 0 + 0 = 0 при n → ∞

Ответ: lim cn = 0 при n → ∞.

Пример 4. Знакопеременная последовательность

Найти предел последовательности:

Решение. Из формулы видно, что знак членов последовательности меняется на противоположный. Чтобы избавиться от знакопеременности, найдем предел последовательности модулей |dn|:

Эта дробь при n → ∞ стремится к 1, значит:

lim |dn| = 1

Поскольку с переходом к пределу знакопеременность исчезает, то:

lim dn = 1 при n → ∞

Ответ: lim dn = 1 при n → ∞.

Особые приемы вычисления пределов

Рассмотрим несколько хитрых приемов, которые помогут справиться с более сложными пределами последовательностей.

Раскрытие неопределенностей типа 0/0 и ∞/∞

Иногда в результате преобразований мы приходим к выражениям вида 0/0 или ∞/∞. Такие неопределенные выражения можно "раскрыть" с помощью специальных приемов.

Рассмотрим пример раскрытия неопределенности 0/0:

Здесь при делении на n в числителе и знаменателе в результате получаем 0/0. Чтобы избавиться от этого, разделим числитель и знаменатель на выражение с наибольшей степенью n:

Ответ: 0.

Применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей

Этот метод заключается в замене исходных выражений в пределе на упрощенные эквивалентные им бесконечно малые или бесконечно большие последовательности с известным пределом.

Например, последовательности n и n+1 являются эквивалентными, так как их пределы совпадают: lim (n) = lim (n+1) = +∞.

Рассмотрим применение этого метода:

Здесь наибольшей степенью является n^3, поэтому разделим числитель и знаменатель на эквивалентную бесконечно большую последовательность n^3:

Ответ: 0.

Использование замечательных пределов

Существует несколько пределов элементарных функций, которые называются "замечательными". Знание этих пределов позволяет быстро находить многие другие пределы.

Например, один из самых полезных:

где e - число Эйлера.

Рассмотрим его применение:

В числе под корнем выделим полный куб:

В скобках получилось выражение вида (1 + 1/n)^n, к которому можно применить формулу замечательного предела. Так как предел всей степени равен e, а предел n равен бесконечности, то окончательный ответ:

lim an = +∞

Вычисление пределов последовательностей с параметром

Рассмотрим особенности нахождения пределов последовательностей, зависящих от параметра.

Алгоритм нахождения предела последовательности, зависящей от параметра

Пусть задана последовательность вида:

где t - некоторый параметр.

Чтобы найти ее предел при n стремящемся к бесконечности, нужно:

  1. Найти предел при фиксированном параметре t:

lim при n → ∞

  1. Затем найти предел полученного выражения при t стремящемся к нужному значению (чаще всего к бесконечности):

lim [...] при t → [...]

Пример вычисления предела последовательности с параметром

Найти предел последовательности:

при t стремящемся к бесконечности.

Решение.

  1. При фиксированном t находим:

lim = t при n → ∞

  1. Теперь находим предел при t → ∞:

lim (t) = +∞ при t → ∞

Ответ: lim = +∞ при t → ∞.

Выводы: здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Определение предела последовательности. Связанные с этим свойства и теоремы изложены выше.

Статья закончилась. Вопросы остались?
Комментарии 0
Подписаться
Я хочу получать
Правила публикации
Редактирование комментария возможно в течении пяти минут после его создания, либо до момента появления ответа на данный комментарий.