Вы когда-нибудь задумывались, что такое предел последовательности и зачем его находить в математике? В этой статье мы не только дадим определение предела последовательности и разберем алгоритм его вычисления, но и покажем, где в жизни пригодятся полученные знания. С помощью ярких примеров и практических советов вы научитесь с легкостью находить пределы самых сложных последовательностей.
Основные понятия теории пределов последовательностей
Числовая последовательность{xn}– это закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n ставится в соответствие число.
Число называют n-м членом или элементом последовательности.
Но для начала давайте разберемся с базовыми определениями из теории пределов последовательностей.
Определение числовой последовательности
Числовая последовательность – это бесконечная упорядоченная совокупность чисел, каждый член которой однозначно определяется своим порядковым номером или индексом.
Например, последовательность чисел Фибоначчи имеет вид:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...
Здесь:
- 1 – первый член последовательности с номером n = 1;
- 1 – второй член последовательности с номером n = 2;
- 2 – третий член последовательности с номером n = 3 и т.д.
В общем виде числовая последовательность записывается как {an}, где an – общий член последовательности, а n – номер члена.
Другими словами числовая последовательность – это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.
Сходящиеся и расходящиеся последовательности
Если последовательность {an} при увеличении номера n бесконечно приближается к некоторому числу A, то такая последовательность называется сходящейся, а число A называется пределом последовательности {an} и обозначается lim an = A.
Например, последовательность
при n, стремящемся к бесконечности, бесконечно приближается к нулю. Значит, эта последовательность сходится и ее предел равен нулю:
lim = 0 при n → ∞
Если же последовательность не имеет предельного числа, к которому бы она приближалась при увеличении номера n, то такая последовательность называется расходящейся.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Бесконечно большой называют последовательность, предел которой равен бесконечности:
Например:
lim n = +∞ при n → ∞
А бесконечно малой – последовательность, предел которой равен нулю:
Например:
lim = 0 при n → ∞
Монотонные и ограниченные последовательности
Монотонной называется последовательность, члены которой либо только возрастают, либо только убывают.
Например, последовательность 1, 2, 3, 4, 5, 6... – монотонно возрастающая.
А последовательность 6, 5, 4, 3, 2, 1... – монотонно убывающая.
Ограниченной последовательностью называется такая, все члены которой по абсолютной величине не превышают некоторого числа M. Например, все числа последовательности cos(n) лежат в интервале [-1; 1]. Поэтому эта последовательность ограничена числом 1.

Основные теоремы о пределах последовательностей
В теории пределов последовательностей есть несколько важных утверждений, которые мы сформулируем и докажем.
Теорема о пределе суммы двух последовательностей
Теорема. Если существуют конечные пределы последовательностей {an} и {bn}:
lim an = A, lim bn = B при n → ∞
то существует и конечный предел суммы этих последовательностей:
lim (an + bn) = A + B при n → ∞
Доказательство. Пусть ε – произвольно малое положительное число. Так как пределы последовательностей {an} и {bn} существуют и конечны, то найдутся такие номера N1 и N2, что для всех n > N1 будет выполняться |an – A| < ε/2, а для всех n > N2 будет выполняться |bn – B| < ε/2.
Рассмотрим неравенство:
При n > max(N1, N2) из неравенств для |an – A| и |bn – B| получаем:
Таким образом, для любого ε > 0 найдется номер N = max(N1, N2), начиная с которого выполняется неравенство |an + bn – (A + B)| < ε, то есть lim (an + bn) = A + B.
Теорема доказана.
Алгоритм нахождения предела последовательности
Теперь, когда мы разобрались с основными понятиями и теоремами, можно сформулировать общий алгоритм нахождения предела последовательности:
-
Разложить исходную последовательность {an} на составляющие (на отдельные слагаемые, множители, степени и т.п.).
-
Найти предел каждой составляющей последовательности в отдельности. Здесь можно воспользоваться известными свойствами элементарных функций, правилами вычисления пределов простейших последовательностей и так далее.
-
С учетом найденных пределов составляющих последовательностей вычислить предел исходной последовательности {an}, используя теоремы о пределах суммы, произведения и частного последовательностей.
В последующих разделах статьи мы подробно рассмотрим примеры применения данного алгоритма при вычислении конкретных пределов последовательностей.
Примеры вычисления простейших пределов последовательностей
Для наглядности и закрепления материала давайте вычислим пределы нескольких простейших последовательностей.
Пример 1. Последовательность, сходящаяся к конечному пределу
Найти предел последовательности:
Решение.
-
Разложим исходную дробь на отдельные слагаемые:
-
Вычислим предел каждой из полученных дробей:
- lim = 1 при n → ∞
- lim = 0 при n → ∞
- lim = 0 при n → ∞
-
Применим теорему о пределе суммы:
- Copy code
lim an = lim + lim + lim =
= 1 + 0 + 0 = 1
Ответ: lim an = 1 при n → ∞.
Пример 2. Бесконечно большая последовательность
Найти предел последовательности:
Решение.
-
Выражение под корнем раскладываем на множители:
-
Находим предел каждого множителя:
lim n = +∞ при n → ∞
Применяем произведения последовательностей. Так как все множители bn являются одной и той же последовательностью n, стремящейся к бесконечности, то согласно теореме:
lim bn = (lim n)^5 = (+∞)^5 = +∞ при n → ∞
Ответ: lim bn = +∞ при n → ∞.
Пример 3. Бесконечно малая последовательность
Найти предел последовательности:
Решение.
-
Разложим дробь на множители в числителе и знаменателе:
-
Находим пределы:
- lim = 0 при n → ∞
- lim = 0 при n → ∞
-
Применяем теорему о пределе суммы:
- Copy code
lim cn = 0 + 0 = 0 при n → ∞
Ответ: lim cn = 0 при n → ∞.
Пример 4. Знакопеременная последовательность
Найти предел последовательности:
Решение. Из формулы видно, что знак членов последовательности меняется на противоположный. Чтобы избавиться от знакопеременности, найдем предел последовательности модулей |dn|:
Эта дробь при n → ∞ стремится к 1, значит:
lim |dn| = 1
Поскольку с переходом к пределу знакопеременность исчезает, то:
lim dn = 1 при n → ∞
Ответ: lim dn = 1 при n → ∞.
Особые приемы вычисления пределов
Рассмотрим несколько хитрых приемов, которые помогут справиться с более сложными пределами последовательностей.
Раскрытие неопределенностей типа 0/0 и ∞/∞
Иногда в результате преобразований мы приходим к выражениям вида 0/0 или ∞/∞. Такие неопределенные выражения можно "раскрыть" с помощью специальных приемов.
Рассмотрим пример раскрытия неопределенности 0/0:
Здесь при делении на n в числителе и знаменателе в результате получаем 0/0. Чтобы избавиться от этого, разделим числитель и знаменатель на выражение с наибольшей степенью n:
Ответ: 0.
Применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей
Этот метод заключается в замене исходных выражений в пределе на упрощенные эквивалентные им бесконечно малые или бесконечно большие последовательности с известным пределом.
Например, последовательности n и n+1 являются эквивалентными, так как их пределы совпадают: lim (n) = lim (n+1) = +∞.
Рассмотрим применение этого метода:
Здесь наибольшей степенью является n^3, поэтому разделим числитель и знаменатель на эквивалентную бесконечно большую последовательность n^3:
Ответ: 0.
Использование замечательных пределов
Существует несколько пределов элементарных функций, которые называются "замечательными". Знание этих пределов позволяет быстро находить многие другие пределы.
Например, один из самых полезных:
где e - число Эйлера.
Рассмотрим его применение:
В числе под корнем выделим полный куб:
В скобках получилось выражение вида (1 + 1/n)^n, к которому можно применить формулу замечательного предела. Так как предел всей степени равен e, а предел n равен бесконечности, то окончательный ответ:
lim an = +∞
Вычисление пределов последовательностей с параметром
Рассмотрим особенности нахождения пределов последовательностей, зависящих от параметра.
Алгоритм нахождения предела последовательности, зависящей от параметра
Пусть задана последовательность вида:
где t - некоторый параметр.
Чтобы найти ее предел при n стремящемся к бесконечности, нужно:
- Найти предел при фиксированном параметре t:
lim при n → ∞
- Затем найти предел полученного выражения при t стремящемся к нужному значению (чаще всего к бесконечности):
lim [...] при t → [...]
Пример вычисления предела последовательности с параметром
Найти предел последовательности:
при t стремящемся к бесконечности.
Решение.
-
При фиксированном t находим:
lim = t при n → ∞
-
Теперь находим предел при t → ∞:
lim (t) = +∞ при t → ∞
Ответ: lim = +∞ при t → ∞.
Выводы: здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Определение предела последовательности. Связанные с этим свойства и теоремы изложены выше.