Вы когда-нибудь задумывались, как выглядит таинственный прямоугольник? Это одна из самых распространенных геометрических фигур, которая нас окружает повсюду. Но что же такое прямоугольник? Как его отличить от других четырехугольников? Какие удивительные секреты и свойства скрыты в простой на первый взгляд фигуре? Я приглашаю вас в увлекательное путешествие в мир загадочного прямоугольника! Мы исследуем эту фигуру со всех сторон.
Что такое прямоугольник и как его определить
Итак, давайте начнем с самого главного - что же такое прямоугольник?
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусам.
Впервые описание этой фигуры встречается еще в Древнем Египте. Но в те времена все геометрические правила давались как неопровержимые истины, не предоставляя доказательств.
Более правильный подход появился в Древней Греции. И естественно, автором стал самый знаменитый математик той эпохи — Евклид. А прямоугольник, как и многие другие фигуры и термины, был подробно описан в его произведении «Начала».
Все тот же Евклид разделил все четырехугольники на два вида – параллелограммы и трапеции. У первых противоположные стороны равны и параллельны, а у вторых параллельна только одна пара сторон, и они при этом не равны.
Так вот, прямоугольник в данном случае является частным случаем параллелограмма. Судите сами:
- У этой фигуры противоположные стороны параллельны. Это первое условие по Евклиду.
- И к тому же они равны, что является условием номер два.
У прямоугольника есть и собственный частный случай. Когда равны не только противоположные стороны, а все. И как нетрудно догадаться, фигура эта называется квадрат.
Ну, и логично предположить, что квадрат является частным случаем параллелограмма.
Итак, теперь мы знаем определение прямоугольника и его место среди других четырехугольников. А где же в реальной жизни можно увидеть эту фигуру? Оказывается - практически повсюду!
Признаки и доказательства того, что перед нами прямоугольник
Итак, мы разобрались, что из себя представляет прямоугольник в теории. Но как на практике отличить его от других четырехугольников и доказать, что перед нами действительно эта самая фигура?
Существует 3 основных признака, которые позволяют определить прямоугольник:
- Если один из углов параллелограмма прямой, то данный параллелограмм является прямоугольником.
- Если три угла четырехугольника являются прямыми, то перед нами опять же прямоугольник. При этом нет необходимости доказывать, что четырехугольник является параллелограммом.
- Если диагонали параллелограмма равны, то фигура точно является прямоугольником.
Это основные "опознавательные знаки", которые выдают в четырехугольнике прямоугольник. Но как и любые математические утверждения, их можно строго доказать. Давайте рассмотрим доказательства некоторых важных теорем о прямоугольнике.
Как выглядит прямоугольник:
Теорема 1. Диагонали прямоугольника равны
Доказательство этого факта довольно простое, если воспользоваться известной теоремой Пифагора. Ведь диагональ прямоугольника разбивает его на два равных прямоугольных треугольника. И для каждого из них справедливо соотношение:
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
В нашем случае в роли гипотенузы выступает диагональ \AD\. А катетами являются стороны \AB\ и \DC\. Получаем:
Поскольку \AB = \DC\, то и \AD = \BD\. Таким образом, диагонали прямоугольника равны!
Теорема 2. Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник
Это так называемая обратная теорема. Давайте докажем, что если в параллелограмме диагонали оказались равными, то все его углы обязательно прямые.
Итак, пусть диагонали параллелограмма \AC\ и \BD\ равны. Тогда в треугольниках \ABC\ и \CDA\ две стороны и угол между ними равны. Следовательно, эти треугольники равны, и угол \CAB = 90°\. Получили прямой угол, значит our параллелограмм — прямоугольник!
Как видите, с помощью несложных рассуждений и использования известных теорем можно строго доказать утверждения о прямоугольнике. А теперь давайте перейдем к еще более интересным вещам и исследуем удивительные свойства этой загадочной фигуры!
